复变函数与积分变换作业答案

复变函数与积分变换习题班级姓名学号①14分式线性映射一、选择题：【A】1、分式线性变换zzw212把圆周1z映射为（A）1w（B)2w（C）11w(D)21w【D】2、点z关于单位圆周1||z的对称点是（A）z（B）z（C）z1（D）z1二、填空题：1、把点1,,1iz分别映射成点0,1,w的分式线性映射是.11)(zzizf2、i1关于圆周2|1|z的对称点是.41i三、求把点iiz,,1分别映射成点1,0,1w的分式线性映射【解】由分式线性映射的保比性可得iiziizww11111010,化简可得所求映射为)2()21(iziziw.四、求把上半平面0)Im(z映射成单位圆1w的分式线性映射)(zfw，并满足条件：（1）1)1(,0)(fif；【解】由于0)(if,根据分式线性映射的保对称性可知)(if.故可令izizkzf)(,(其中k为待定常数).又因为1)1(f,代入上式得iik111,解之可得ik,从而所求映射为复变函数与积分变换习题班级姓名学号②izizizf)(.（2）0)(arg,0)(ifif。【解】由于0)(if,根据分式线性映射的保对称性可知)(if.故可令izizezfi)(,(其中为待定常数).由此可得2')(2)(iziezfi,)2('21)(ieif.又因为,02)(arg'zf所以2.从而所求映射为iziziizizezfi2)(.2、求把单位圆1z映射成单位圆1w的分式线性映射)(zfw，并满足条件：（1）1)1(,0)21(ff【解】由于0)21(f,故可设zzezfi21121)(.又1)1(f,代入上式可得1ie.从而所求映射为21212121)(zzzzzf.（2）0)21(arg,0)21(ff【解】由于0)21(f,故可设zzezfi21121)(,由上式可得复变函数与积分变换习题班级姓名学号③2')211(43)(zezfi,34)21('ief.又因为,0)21(arg'f所以1ie.从而所求映射为zzzf21121)(.复变函数与积分变换习题班级姓名学号④15唯一确定分式线性映射的条件、几个初等函数所构成的映射一、选择题：【B】1、把带形域2)Im(0z映射成上半平面0)Im(w的一个映射为（A）zew2（B）zew2（C）ziew（D）izew【D】2、把角形域2)arg(0z映射成上半平面0)Im(w的一个映射为（A）2izw（B）2zw（C）2izw（D）22zw二、填空题：1、把角形域4arg0z映射成圆域1w的一个映射为izizw44．2、映射zwln将上半z平面映射为wIm0．三、求一个共形映射将下列区域映射成上半平面：（1）D：0)Im(z，2||z【解】如下图所示:所求满足要求的映射为222zzw.222zzw(w)(z)-22OOO(1W)221zzw21ww复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑤（2）D：1,3arg0zz；【解】如下图所示:所求满足要求的映射为23311zzw.四、求把偏心圆环域2511::zzzD且映射为同心圆环域Rw1的一个映射【解】如下图所示:为简便起见，在单位圆内实轴上取一点a映射成原点，对单位圆1||z而言，根据保对称性，a1映射成无穷远点所求的映射为azazkw1对园25|1|z也有保对称性，且为同心圆则425)11)(1(aa解得41a因此所求映射为441zzkw因为单位圆1||z映射成单位圆1||w，则取1)1(w代入得41k故所求映射为414zzw(z)O-11OO(2W)O(w)(1W)23311zzw31zw22ww11112复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑥16傅氏变换的概念一、设周期函数)(tf在一个周期上的表达式为01,010,1)(tttf，求)(tf的傅里叶级数的指数形式，并作出)(tf及振幅与相位频谱图像。【解】T222d)(1TTtinntetfTc1021dtetin,...2,102112)12(20knknkikn所以)(tf指数形式为：ktkieik)12()12(121振幅频谱图||nc12345-1-2-3-4-5xyO相位频谱图)arg(nc12345-1-2-3-4-5-1-212xyO复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑦二、求函数,0,1,1,0)(tftttt110011的傅里叶积分，并作出)(tf及振幅与相位频谱图像。【解】由于tetfFtidtetetitidd10011111iieiei1cos2i,故)(tf的傅里叶积分为0dsinsincos2d1cos221tteiti.振幅频谱图)1(cos2|)(|F1234567891011-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-1-2-3-412345xyO振幅频谱图0202)(argF123456-1-2-3-4-5-6-7-1-212xyO复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑧17单位脉冲函数一、选择题：【B】1、下面结论不正确的是（A）)()(ddttut(B))(d)()(00tftttft（C）)(t是偶函数(D))(t的傅里叶变换是1【D】2、函数tje0的傅里叶变换是（A）1（B）)(2（C）)(20（D）)(20二、填空题：1、单位跳跃函数)(tu的傅里叶变换是)(1i2、衰减函数tetu)(的傅里叶变换是i1三、求函数2||,02||,21)(ttttf的傅里叶变换，并作出)(tf及频谱图像。【解】dtetfFti)()(dtetti2221dtedtettiti2002212120222112titieiet2cos1421234-1-2-3-41xyO123-1-2-312xyO取τ=4复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑨四、求函数)62sin()(ttf的傅氏变换，并作出)(tf及其频谱图。【解】ititeieitttf224314312cos212sin23)(,则)2(231)2(231)]([iitfF123-1-2-3-1-212xyO12-1-2-1-21234xyO五、求函数)]()([)(00F的傅氏逆变换)(tf。并作出)(tf及其频谱图。【解】根据Fourier逆变换的定义,有detfti)]()([21)(00dedetiti)]()(2100.cos)(21000teetiti下面取101-11xyO1234-1-2-3-4-112xyO复变函数与积分变换习题班级姓名学号⑩18傅氏变换的性质一、选择题：【C】1、设)(tf的傅里叶变换为)(F，则)(tft的傅里叶变换为（A）)(F（B）)(F（C）)(Fj（D）)(Fj【A】2、设)(tf的傅里叶变换为)(F，则)(tfejat的傅里叶变换为（A）)(aF（B）)(aF（C）)(Feja（D）)(Feja【D】3、设)(tfn的傅氏变换为)(nF（2,1n），则)()(21tftf的傅氏变换为（A）)()(21FF（B）)(*)(21FF（C）)()(2121FF（D）)(*)(2121FF二、填空题：1、设)(tf的傅里叶变换为)(F，则)12(tf的傅里叶变换为)2(212Fei．2、设)(tf的傅里叶变换为)(F，则tfd)(的傅里叶变换为)(1Fi．三、利用傅氏变换的性质，求下列函数)(tf的傅氏变换：（1）)32sin()(0tetftj；【解】由于三角函数)]2()2([]2sin[itF,由Fourier变换原像函数的位移性质,可得)]2()2([]2sin[)]32sin([2323iiietetFF,再由Fourier变换像函数的位移性质,可得)]32sin([)]([0tetftiFF)]2()2([)(230iie复变函数与积分变换习题班级姓名学号11（3）)3()(2tuettft【解】由于衰减函数有Fitu321)]([et32-由相似性质得Fitu21)](3[e2t-,由Fourier变换像函数的微分,可得)]([)]([2tutetftiFFii2112)2(1i（4）ttuetft2cos)()(3【解】由于tittitetueetuetf2323)(21)(21)(titietuetu00)(21)(21,而itu31)]([e3t-F,再由Fourier变换的线性性质和像函数的位移性质,可得]2cos)([)]([3ttuetftFF])(21)(21[00titietuetuF])([21])([2100titietuetuFF)(3121)(312100ii.四、设2||02||1)(tttf，ttgcos)(，求)(*)(tgtf。【解】根据卷积的定义,d)()()()(tgftgtf,下面根据t的不同取值范围进行讨论.1)当2t时,显然有0)()(tgtf;2)当2t时,22d)cos()()(ttgtf)2sin()2sin(tt.tcos2复变函数与积分变换习题班级姓名学号1219拉斯变换的概念一、选择题：【C】1、函数kttfcos)(的拉斯变换是（A)22ksk(B)22ksk（C)22kss(D)22kss【D】2、函数mttf)(的拉斯变换为（A)msm!(B)1)!1(msm(C)msm)!1((D)1!msm二、提空题：1、函数ktetf1)(的拉斯变换为kss11。2、单位跳跃函数)(tu的拉斯变换是s1。三、用拉氏变换的定义求下列函数)(tf的拉氏变换：（1）)(215cosh)(55tteettf【解】根据Laplace变换的定义，有0550de)ee(21dech5)]([)(ttttfsFstttstL0)5()5(515121tstseses515121ss,)5)(Re(s.（2）)(4)()(3tetutft【解】根据Laplace变换的定义，有