三阶行列式与代数余子式的关系

线性代数部分第八章行列式第九章矩阵§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩§9.1矩阵的概念§9.2矩阵的运算§9.3矩阵的逆§9.4矩阵的秩§8.1行列式的定义§8.2行列式的性质§8.3行列式的计算§8.4克莱姆法则线性代数部分第八章行列式§8.1行列式的定义它可以通过加减消元法求解得22221211212111bxaxabxaxa(1.1.1)一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式在初等数学中,大家都学过二元一次线性方程组本节首先由二元与三元一次线性方程组引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给出一般阶行列式定义.n线性代数部分第八章行列式并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义式.为了便于表示上式,我们引入记号,规定:dcbabcaddcba(1.1.3))0(21122211211222111211122211222111222211时当aaaaaaaaababxaaaaababx(1.1.2)线性代数部分第八章行列式例如1443)2(12431于是(1.1.2)式便可以表示为:222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx22211211aaaa021122211aaaa其中称其为方程组(1.1.1)的系数行列式注1:从以上易见,行列式恰好是将系数行列式中的两个的系数分别换为常数项后得到的行列式,而恰好是将系数行列式中的两个的系数分别换成常数项后所得到的行列式.1DDD1x2D2x线性代数部分第八章行列式解易见系数行列式02212105432D又164126412,13185563121DD例1解方程组654132yxyx于是其解为1182216,221321xx2.三阶行列式对于三元一次线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性代数部分第八章行列式类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义)7.1.8(113223332112312213133221312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右下角的线称为主对角线.仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组(8.1.6)的系数行列式为,然后将中的第一、二、三列元素分别换为常数项、、后便得到行列式、和,于是方程组(8.1.6)的解可表示为:DD1D2D3D1b2b3bDDxDDxDDx332211,,线性代数部分第八章行列式例2解方程组423152302321321321xxxxxxxxx解系数行列式0283062958231523112D21431123012,47241513102,13234521110321DDD于是,该方程组的解为2821,2847,2813321xxx线性代数部分第八章行列式ija在一个行列式中,称去掉某个元素所在的行和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素的余子式,记作,ijMija而称为元素的代数余子式,记作,即ijaijjiM1ijAijjiijMA1如在行列式078625431中元素5的代数余子式为元素-4的代数余子式为280743121211221MMA517825113133113MMA二、阶行列式定义n1.余子式与代数余子式线性代数部分第八章行列式由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.2.行列式与代数余子式的关系(1).二阶行列式与代数余子式的关系2112221122211211aaaaaaaa122112111111)1()1(MaMa12121111AaAa同理可推出2222121221211111222221212112221122211211AaAaAaAaAaAaaaaaaaaa线性代数部分第八章行列式113223332112312213133221312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa131312121111AaAaAa可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.)()()(312213322113312312332112322311332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa类似可证,它还等于其它行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.(2).三阶行列式与代数余子式的关系线性代数部分第八章行列式综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.165201432例3计算解1312114)3(2165201432AAA2.阶行列式的定义n定义8.1把由个元素,组成的记号,(iaij),,3,2,1nj2nnnnninnaaaaaaaaa2222211121165014152131620233线性代数部分第八章行列式称为阶行列式,记作,其中称为第行第列的元素nDijaij规定,当时行列式1n1111aaD当时行列式2n)1(2211niAaAaAaDininiiii)1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj或并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为阶行列式按照第行和第列的展开式.(1.1.9)(1.1.10)例4设四阶行列式3014210232014213D按第2列展开该行列式并求值nDij线性代数部分第八章行列式42322212)1(001AAAAD解4212AA注2:易见该题若按其它行或列展开计算时就会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而简化计算.例5按定义分别计算nnnnaaaaaaDdcbaD000,000000000000222112112121232142330421232130线性代数部分第八章行列式dcbaD0000001解nnnaaaaD0222112注3:形如该例中的行列式称为上三角形行列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角线上的元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式的值等于主对角线上的元素乘积.2D习题8-11.计算下列行列式dcab00)1(abcdnnnaaaaa03332211nnaaa2211线性代数部分第八章行列式543212523410312bababa000(1)(2)(3)(4)2.设1121803512304012D请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.线性代数部分第八章行列式在给出行列式性质之前,首先给出行列式的转置概念.§8.2行列式的性质如果将行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211的行和列的元素互换,则得一新的行列式nnnnnnaaaaaaaaa212221212111按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.线性代数部分第八章行列式称该新行列式为原来行列式的转置行列式,简称为的转置,记作.即DDTDTDnnnnnnaaaaaaaaa212221212111注1:显然若是的转置,则也是的转置,即与互为转置.DDTDTDTDD性质1行列式转置值不变,即TDD102413,102143TDDTDD易见注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地位是平等的,凡是行具有的性质对于列也具有.性质2交换行列式中任意两行(两列)元素的位置,行列式须改变符号.即如线性代数部分第八章行列式nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnniiniijnjjnaaaaaaaaaaaa2212111211推论1如果行列式中有两行(或两列)元素对应相等,则该行列式的值为零.因为如果行列式中有两行(或两列)元素对应相等的话,互换这两行(两列)元素的位置行列式不会变,还为;但另外由性质2知这两行(两列)元素的位置互换行列式须改变符号,变为,于是必有DDDD0D性质3用乘以行列式的某一行(列)的各元k线性代数部分第八章行列式素,就等于用乘以该行列式,即knnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论2如果行列式的某一行(列)有公因子,则公因子可以提到行列式的前面.推论4如果行列式中有一行(列)元素全部为零,则该行列式的值必为零.事实上,当性质3中的常数时,即得该结论.0k推论3如果行列式中某两行(列)的元素对应成比例,则该行列式的值必为零线性代数部分第八章行列式性质4如果行列式的某一行(列)的各元素均可以写成两个数之和,则该行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素还是原来的.以三阶行列式为例,可将性质4表示为333231321131211333231321131211333231332211131211aaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa例1利用行列式的性质计算,0001cbcabaD3045172132D(1)(2)线性代数部分第八章行列式解(1)因为00011cbcabaDDT所以故021D01D(2)3043201432133045172132D(2)性质5将行列式的某一行(列)的各元素同乘以常数后加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不变.l例2计算82196422410311417D00013cbcaba1D3043042133042132130将该行列式的每一行均提出1线性代数部分第八章行列式821932114103114172D解性质6行列式的某一行(列)元素与该行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于该行列式,而与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于零,即jijiDAaAaAajninjiji02211DD),1(nji习题8-21.利用行列式的性质计算821932114103321120第三行同时提出2第二行同乘以加到第一行上去2第一行与第三行对应元素相等.线性代数部分第八章行列式12845170254137432769