2012全国高中数学联赛广东预赛试题(详细解析)

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12012年全国高中数学联赛广东省预赛试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上1.已知02014201320112010201222kk,则k.2.函数()sin()sin()cos366fxxxx的最小值等于.3.已知1()2bxfxxa,其中,ab为常数,且2ab.若1()()fxfkx为常数,则k的值为.4.已知方程2133xxp有两个相异的正实数解,则实数p的取值范围是.5.将25个数排成五行五列:11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa已知第一行11a,12a,13a,14a,15a成等差数列,而每一列1ja,2ja,3ja,4ja,5ja(15j)都成等比数列,且五个公比全相等.若244a,412a,4310a,则1155aa的值为______.6.设点P在曲线12xye上,点Q在曲线ln(2)yx上,则PQ的最小值为______.7.将2个a和2个b共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内,每个小方格内至多填一个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共有.8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80,该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156,则该梯形的周长为.9.(本小题分16分)设椭圆2222+=1xyab(0)ab的左、右顶点分别为,AB,点P在椭圆上且异于,AB两点,O为坐标原点.若||=||APOA,证明:直线OP的斜率k满足||3k.10.(本小题满分20分)设非负实数a,b,c满足3cba.求222222()()()Saabbbbccccaa的最大值.11.(本小题满分20分)求出所有的函数**:fNN使得对于所有x,y*N,2(())fxy都能被2()fyx整除.2答案:1220122(或4048142)解:2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)nnnnnnnn24222(54)(2).nnnn2答案:1解:因为()sincoscossinsincoscossincos366663sincos32sin()3,6fxxxxxxxxx所以)(xf的最小值为1.3答案:1.4解:由于222211(1)()()222(4)2bxbxbxbxbkfxfxxaaxaxaxa是常数,故2akb,且22(4)1akb.将2bak代入22(4)1akb整理得22(4)(14)0kkak,分解因式得2(41)(1)0kka.若410k,则210ka,因此222abka,与条件相矛盾.故410k,即14k.4答案:9(,2).4解法一:令3xt,则原方程化为230ttp.根据题意,方程230ttp有两个大于1的相异实根.令2()3ftttp,则22(3)40,9(1)1310,2.431.2pfpp解法二:令3xy,则原方程化为230yyp.注意到这个关于y的方程最多有两个解,而由3xy严格单调递增知每个y最多对应一个x,因此所求的p应当使3230yyp有两个相异的实数解12,yy,且满足12123,3xxyy的两个实数12,xx都是正的.由于12,xx都是正的,故12,yy都应大于1.由于123yy,故213yy,因此1y必须满足11y,131y及113yy.因此1y的取值范围为33(1,)(,2)22.因此1211(3)pyyyy的取值范围为9(,2)45答案:11解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a,4310a知4210(2)42a且公差为6,故4416a,4522a.由244a,4416a知公比2q.若2q,则113214as,55222411a,故115511aa;若2q,则113214as,5522(2)4(11)a,故115511aa.6解:2(1ln2).函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数,图象关于yx对称.函数12xye上的点1(,)2xPxe到直线yx的距离为122xexd.设函数minmin111ln2()()1()1ln2222xxgxexgxegxd.由图象关于yx对称得:PQ最小值为min22(1ln2)d.7答案:3960解:使得2个a既不同行也不同列的填法有224472CA种,使得2个b既不同行也不同列的填法有224472CA种,故由乘法原理,这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况:2个a所在的方格内都填有b的情况有72种;2个a所在的方格内恰有1个方格填有b的情况有121691672CA种.所以,符合条件的填法共有2727216723960种.8答案:16213.4解:设梯形的上底长为a,下底长为b,高为h,则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33hbhabhab,因此21(2)1123hab,即2(2)336hab.同理有2(2)240hab,两式相除得2336722405abab,去分母化简得3ba,代入2(2)336hab得248ah.注意到直角腰长等于高h,梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,其体积为221()1563haabb.将3ba代入化简得236ah.结合248ah可解得3,4ah,因此9b,由勾股定理知另一条腰的长度为224(93)213,因此梯形的周长为39421316213.9解法一:设(cos,sin)(02)Pab,(,0)Aa.由||||APOA,有22(cos)(sin)aaba,即22222cos2cossin0aab.……4分从而22222221cos0,cos2cossinsin.aaba所以,1cos02,且2222sin213coscosba.所以,sin2||13.coscosbka……16分解法二:设(cos,sin)(02)Pab.则线段OP的中点(cos,sin)22abQ.||=||APOA1AQAQOPkk.sinsincos22cosAQAQAQbkbakakaa.……8分22222222222)cos(sin)(2AQAQAQAQkaakabkbbak1||||33AQkk.……16分10解:不妨设cba.显然有222bbccb,222ccaaa.5……………5分根据AM-GM不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ababSabaabbaabbababababcaabb……………15分所以S的最大值为12,这时0,1,2,,cba.……………20分11解:根据题目的条件,令1yx,则2((1))1f能被(1)1f整除.因此2((1))(1)ff能被(1)1f整除,也就是(1)((1)1)ff能被(1)1f整除.因为(1)f与(1)1f互素,所以(1)1f能被(1)1f整除,且(1)1(1)1ff,所以(1)10f,(1)1f.……………10分令1y,则2(())1fx能被21x整除,因此22(())fxx.从而()fxx,对所有x*N.令1x,则1y能被()1fy整除.从而()yfy,对所有y*N.综上所述,()fxx,对所有x*N.……………20分

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