导数公式导数运算法则

旧知回顾求函数的导数的方法是:00f(x+Δx)-f(x)Δy=;ΔxΔxΔx→0Δyy=lim.Δx（1）求增量（2）算比值（3）求极限0)()(0xxxfxf知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),yfxcyfxxyfxxyfxx'1y；'2yx；21'.yx'0y；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x2的导数是=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：;xf,cxf.'01则若;nxxf,Nnxxf.n'n12则若;xcosxf,xsinxf.'则若3;xsinxf,xcosxf.'则若4;alnaxf,axf.x'x则若5基本初等函数的导数公式;exf,exf.x'x则若6;alnxxf,xlogxf.'a17则若.xxf,xlnxf.'18则若例1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？015%tptp0p01p'1.05ln1.05.tpt./..ln.p,'年元所以0800510511010解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？05p当时，，这时，求P关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)=乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p51.05tpt1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即　(uv)uv1.和(或差)的导数　(uv)uv)()()(xvxuxfy证明：)()()()(xvxxvxuxxuvuxvxuxyxvxuxvxuxyxxxx0000limlimlimlim)()(''xvxu例2'23cosxxy求y=+sinx的导数.3x解：由导数的基本公式得：例3'3'421xxy解：由导数的基本公式得：求的导数.42y=x-x-x+32.积的导数法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明fxgx=fxgx+fxgx′′′uCCu)(:推论知识拓展22y=2x-3x+5x-4？求的导数例4'4655yxxx解：由导数的基本公式得：例52y=(2x+3)(3x-2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889yxxxxxxxx解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()xxfxgxfxgxgx2xy=sinx的导数.例62'2''2()sin(sin)sinxxxxyx解：222sincossinxxxxx例72x+3y=x=3x+3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)xxxyx解：22263(3)xxx'329183241|(93)1446xy2fxfxgxfxgx3.gx0.gxgx′′′导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g(x)′;2.[f(x).g(x)]′=f′(x)g(x)±f(x)g(x)′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x-2），则y=lnu.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为xuxy=yu′′′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.xux13y=yu=lnu3x+2=3=u3x+2′′′′′问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等于y=㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即)(xf例82y=2x+3求函数的导数.'''xuxyyu''223ux4812.ux解：函数可以看作函数和的复合函数.由复合函数求导法则有223yx3yu23ux课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则2fxfxgx-fxgx3.=gx0gxgx′′′1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g(x)′2.[f(x).g(x)]′=f′(x)g(x)±f(x)g(x)′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接(2008海南、宁夏文)设，若()lnfxxx，则（）A.B.C.D.0'()2fx0x2eeln22ln2B2axya062yxa121-21(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1,)处的切线与直线平行,则A．1B．C．D．()A随堂练习''3'''32323yxxxx解因为232.x1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数.323yxx随堂练习0.0511;2sin,.xyeyx其中均为常数2、求下列函数的导数u-0.05x+1=-0.05e=-0.05e.xuxy=yu′′′u=e-0.05x+1′′（1）函数可以看做函数和的复合函数.由复合函数的求导法则有-0.05x+1y=euy=eu=-0.05x+12y=sinπx+φy=sinuu=πx+φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有.φxπcosπucosπ'x'u'xuyy''φxπusin习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6)5.12.(1);ln2fxxffyx所以，'(2)2;xye'4(3)106;yxx'(4)3sin4cos;yxx''1(5)sin;331(6).21xyyx