1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式及四则运算(1)

1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、复习1.导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率;(瞬时速度或瞬时加速度)物理意义：物体在某一时刻的瞬时度。2、由定义求导数（三步法）步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值)(,0)3(xfxyx当00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称为导数．000()()().yfxxfxfxx函数在点处的导数等于导函数在点处的函数值二、新课由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:(一）.导函数.yxy例:已知，求00limlimxxyxxxyxx解：011lim.2xxxxx0()()lim()xxxxxxxxxxx二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.公式1:=0(C为常数)C请同学们求下列函数的导数:22)(),3)(),14)(),yfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?公式2:.)()(1Qnnxxnn公式3:公式4:xxcos)(sinxxsin)(cos公式5:对数函数的导数1(1)(log)(0,1).lnaxaaxa1(2)(ln).xx公式6:指数函数的导数(2)().xxee(1)()ln(0,1).xxaaaaa注意:关于是两个不同的函数,例如:axxa和)3)(1(x))(2(3xaxln323x总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则例1：求下列函数的导数xxxyxy)2()1(5).2(,)1(3fxy求已知213333)(xxxy解：12)2(3)2(2f312222)(xxxy解：2722712)3(2)3(3f).3(,1)2(2fxy求已知例2:例3.求下列函数的导数)2cos()3(3sin)2()2sin()1(xyyxy例4.求下列函数的导数3(1)4(2)logxyyx);(')(')]'()([xgxfxgxf)()()()())()(('''xgxfxgxfxgxf)()()()()())()((2'''xgxgxfxgxfxgxf''(())()cfxcfx(三)函数的和、差、积、商的求导法则设f(x)、g(x)是可导的（1）（2）（3）特殊地（c为常数）''21()()()gxgxgx注意：1、前提条件导数存在；２、和差导数可推广到任意有限个；３、商的导数右侧分子中间“－”，先子导再母导。32()2sin0.fxxxxx例1求在时的导数例2设y=xlnx，求y.解根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11xxxxxxxy例3设,112xxy求y.2222)1()1]()1()[(])1())[(1(xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222xxxxxxx切线问题1:求过曲线y=cosx上点P()的切线的直线方程.21,3.233sin)3(,sin)(,cos)(fxxfxxf解：，处的切线斜率为故曲线在点23)21,3(P.033123),3(2321yxxy即所求的直线方程为2.如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.解:∵切线与直线y=4x+3平行,∴切线斜率为4.又切线在x0处斜率为y|x=x0∴3x02+1=4.∴x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12.∴切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y=4x-12或y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.所以a•(-1/2)2=1,即:a=41,.yxbyxb练习：若直线为函数图象的切线求的值和切点的坐标4.已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.解:由直线l过点(x0,y0)，其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x00).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).38322.1,,?yxPyxP5已知直线点为上任意一点求在什么位置时到直线的距离最短;3)()1(,14333xxxyxy解：.043),1(31,3|)1,1(1yxxyykPx即从而切线方程为处的切线的斜率为曲线在设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:;146,10|4|1013|)4(|2bbbb或故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.练习:已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.31xy101、设f(x)=(1+x)(1+2x)(1+10x)，求.)0(f'2、求曲线上与轴平行的切线方程.32xxyxf（x）=（x-1）（x-2）…（x-9）（x-10）)10('f则!9解：232xy令0y0322x321x322x切点为964,32964,32所求切线方程为964y964y和3.求曲线上与轴平行的切线方程.32xxyx0k4、求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程解：设切点00yxp∴切线的斜率为11ln)(lnln)()ln(''''xxxxxxxy0ln0x∴1ln10x∴10x00y∴∴切线方程为y=x-1即x-y-1=05、求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离解：设曲线点在平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为所求00yxp处的切线与2x-y+3=0∵122'xy21220x∴∴10x∴切点为（1，0）∴555mind小结:基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则注意:牢记公式呦（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。三、巩固练习222')2(2xxxyxxxy2'cos222sinxxfcossin)(则1、函数)('f２、函数的导数是22xxxy３、函数的导数是xxytan４、函数a=则212)(axxxf2)1('f0或３解：'')sin(xxy'')(sinsinxxxx'')cossin(xxyxxxxx2''cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1xxxcossin（2）y=tanx5、求下列函数的导数（1）y=xsinx解：6、求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）)5)(23(2xxy23092'xxy)83)(75(3xxy211206023'xxy12xxy222')1(1xxyxxysin2'sincosxxxxy7、（1）已知若则a=()ABCD23)(23xaxxf4)1('f319316313310D（2）若则a=（）A6B3C0D-2xaxxfsin)(3)2('fB