相似三角形常见模型(总结材料)

实用文档标准文案第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二）8字型、反8字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景实用文档标准文案（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展CBEDA共享性GABCEF实用文档标准文案一线三等角的变形一线三直角的变形实用文档标准文案第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,ABCDEB．求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCE．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD2．ACDEB实用文档标准文案2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．ACBPDE（第25题图）GMFEHDCBA实用文档标准文案EDCAB双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。EDABC共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.ABCDE2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）CDBEBC22．一线三等角型相似三角形AEFDEABC实用文档标准文案例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE例2：（1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ABCAPQ.①若点P在线段CB上（如图），且6BP，求线段CQ的长；②若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段BP的长.例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么ABC备用图ABCDABCDABCPQABC备用图ABCDCDABP实用文档标准文案①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．CBADCBAD例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6ABCDBC，3AD．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长．相关练习：1、如图，在△ABC中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3)当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作ABCDE实用文档标准文案DEFB，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEPDMFSS49时，求BP的长．4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EGFG交直线AC于点,MN，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BExMNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1AE，试求GMN的面积．FBACDEEDCBAP（第25题图）EDCBA（备用图）备用图实用文档标准文案一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作CPPE，交边AB于点E,设yAExPD,，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。例2、在ABC中，OBCACC,3,4,90o是AB上的一点，且52ABAO，点P是AC上的一个动点，OPPQ交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设yCQxAP,，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。【练习1】在直角ABC中，43tan,5,90BABCo，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DEDF交射线AC于点F（1）、求AC和BC的长（2）、当BCEF//时，求BE的长。（3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。【练习2】QCBAOPFDCBAEEBCADPFDCBAE实用文档标准文案QPDCBAQPDCBAFABCDEFABCDE在直角三角形ABC中，DBCABC,,90o是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DFDEDF,与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：DFDE(2)、当mDBAD，求DFDE的值（3）、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,,求y关于x的函数关系式，并写出定义域【练习4】]如图，在ABC中，90C，6AC，3tan4B，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.【练习5】、（2015年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD中，CDAB,34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰BC上一个动点(不含点B、C),作APPQ交CD于点Q.(图1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当DQPQ时,求BP的长；(图2)(3)设yCQxBP,,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.实用文档标准文案（图1）（图2）