逻辑学2011-04

逻辑学（4）命题的自然推理夏昊翔大连理工大学系统工程研究所命题逻辑的本质：1）以命题为基本逻辑单元；2）复合命题的逻辑特征取决于联结词所反映的客观联系，所以，命题逻辑又被称为联结词的逻辑。以逻辑联结词为基础，可以用类似于几何证明的方法证明所有复合命题的逻辑真理。检验复合命题推理的有效性就变成一种逻辑演算。联结词符号化是命题逻辑演算的基础！一、重言式•1、真值形式：是指由真值联结词和命题变项构成的形式结构。•在命题逻辑中，它是复合命题的命题(逻辑)形式.•1.1真值联结词：仅仅表示复合命题与肢命题之间的真假关系的联结词，通常又叫逻辑联结词。•1.2五种基本真值形式•否定式：p•合取式：pq•析取式：pq•蕴涵式：pq•等值式：pq必要条件的情况：pq避免逆蕴含，减少非必要的联结词。任何真值形式，最终都由这五种基本真值形式组合而成。真值函项（真值函数）1.3真值函项与函数类比函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值决定。真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依赖其变项的值，如p∧q的值，由p和q的值决定。真值函项反映命题变项与真值形式之间的函数关系；对于由n个命题变项组成的真值函项，变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。即：BBBBfn个...:•2.重言式：重言的真值形式的简称，无论其中的命题变项取何种真值，该真值形式的值都是“真”，因此，又叫永真式。•同一律：pp;•矛盾律：(pp)•排中律：pp•永假式：无论其中的命题变项取何种真值，该真值形式的值都是假的。•可满足式：真值形式的值至少在某种情况下是真的。•一些常见的重言式•1、同一律：pp;•2、矛盾律：(pp)•3、排中律：pp•4、分离律：（pq）pq（肯前律）•5、否后律：（pq）qp•6、析否律：（pq）qp•7、合取简化律：（pq）p•8、析取引入律：ppq•9、幂等律：ppp;ppp•10、假言易位律：（pq）（qp）•11、德·摩根律：（pq）(pq)•（pq）(pq)•12、交换律：pqqp；pqqp•13、双否律：pp重言式是关于真值联结词的逻辑规律•14、结合律：（pq）rp（qr）（合取交换）•（pq）rp（qr）（析取交换）•15、分配律：p（qr）（pq）（pr）•合取对析取的分配律•p（qr）（pq）（pr）•析取对合取的分配律•16、蕴析律：（pq）（pq）•17、等值律：（pq）（pq）（qp）(等值分解)•（pq）（pq）（pq）2.命题的真值判定方法•1、真值表法•1.1真值表:就是能显示一个真值形式在它的命题变项的各种真值组合下所取真值的图表。•作用:判定一个真值形式是重言式、可满足式或者是矛盾式。1.2构造真值表的一般方法（1）找出给定真值形式中的所有命题变项，列举出它们的各种真值组合。（2）根据真值形式的构成过程，由简到繁列举出该真值形式的构成部分，真值表的最后一列就是说要判定的真值形式。（3）根据所涉五个基本真值联结词的逻辑特性，分别计算出每一行中各构成部分的真值，最后得出该真值形式的真值。用真值表判定((pq)r)(p(qr))是否为重言式pqrpq(pq)rqrp(qr)((pq)r)(p(qr))TTTTTTTTTTFTFFFTTFTFTTTTTFFFTTTTFTTFTTTTFTFFTFTTFFTFTTTTFFFFTTTT用真值表判定下述推理是否有效•或者逻辑学难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学不容易学。•前提：(1)pq;(2)rp•结论：qr•真值形式：((pq)(rp))(qr)pqrpqrp(pq)(rp)qr((pq)(rp))(qr)TTTTFFFTTTFTTTTTTFTTFFTTTFFTTTTTFTTFTFFTFTFFTFTTFFTTTTTTFFFTTTTT真值表方法还可以用来判定不同真值形式之间的逻辑关系pqpqpqpqpqTTFFTTFTFFTFFTFTTFTTFFFTTTTF2、归谬赋值法•归谬赋值法的基本思想：为了证明一个蕴涵式是重言式，必须证明它不可能前件真而后件假。•先假设所要判定的蕴涵式前件真且后件假，并根据这个假设，给每个命题变项赋值，使其满足前件真而后件假。•如果在这样的赋值过程中出现了矛盾赋值，即必须给同一个命题变项既赋“真”值又赋“假”值，那么，原假设不成立，因而该蕴涵式是重言式。•反之，如果不出现矛盾赋值，则说明存在一组赋值满足前件真而后件假，因而不是重言式。•((pq)q)p•F•TF•TTT•TTF•●从上图可见，q必须同时赋以真和假。试用归谬赋值法判定下列推理是否有效•如果地球围绕太阳公转(p)，但并不围绕自己的轴线自转(q)，那么，地球上就不会有白天和黑夜(r)。事实上，地球上有白天和黑夜。所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。•前提：（1）(pq)r；（2）r•结论：p(pq)•真值形式：(((pq)r)r)(p(pq))(((pq)r)r)(p(pq))•F•TF•TTFF•TF•FF•FT用归谬赋值法判定下列推理是否有效•事实上，我的勺是干的(p)，所以我没有在自己的咖啡中加糖(q)。因为如果我搅动了咖啡(r)，我的勺一定是潮的。然而我不会搅动咖啡，如果我不给它加糖。•前提：(1)p;(2)rp;(3)qr•结论：q•真值形式：((rp)(qr)p)qp、q、r可以没有矛盾赋值，故推理无效•((rp)(qr)p)q•F•TF•TTT•TTT•FF•如果继续下雨，那么河水会上涨。如果继续下雨且河水上涨，那么桥将被冲垮。如果继续下雨会导致桥被冲垮的话，那么仅有一条路通往镇上是不够的。或者一条路通往镇上就足够了，或者交通工程师们犯了错。因此，交通工程师们犯了错。•（p—继续下雨；q—河水上涨；r—桥被冲垮；s—一条路通往镇上足够；t—交通工程师们犯了错。）•用归谬赋值方法判定下列推理是否有效3.命题的自然推理•自然推理实际上是另外一种判定推理是否有效的方法，并且主要是证明的方法。•自然推理的基本思想：确定一些推理规则，这些规则具有保真性。即依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，如果依据这些推理规则，能形式地推出预期的结论，这就说明该推理有效。•1、A├A:以一个公式为前提，可以推出它自身。•2、A,AB├B:通常叫蕴涵消去规则。•3、[A]…B├AB:假设A可以推演出B，那么，可以得到结论（AB）。即蕴涵引入规则。•4、A，B├AB：合取引入规则。•5、AB├A（B）：合取消去规则•自然推理的主要规则•6、A├AB：析取引入规则。•7、AB，[A]…C，[B]…C├C：析取消去规则。•8、[A]…BB├A:否定引入规则。•9、A├A：否定消去规则。•10、[A]…B，[B]…A├AB：等值引入规则。•[A]表示假设有A；[A]…C表示假设有A，并能从其推演出C。用自然推理判定下列推理是否有效•如果下雨，地面就会潮湿，地面没潮湿，所以没下雨。•前提：pq;q.结论：p•(1)pq前提•(2)p假设•(3)q(1)(2)蕴涵消去•(4)q前提•(5)qq(3)(4)合取引入•(6)p(1)(5)否定引入•如果或者工资提高(p)，或者物价提高(q)，那么将有通货膨胀(r)。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。如果人民遭受损失，改革就会失去人心(u)。国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。因此，物价不会提高。•如果法官是公正严明的(p)，那么,如果现有证据充分(q)，就应宣判张三有罪(r)。而如果这些证据都是真的(s)，一个公正严明的法官是就会认定现有证据的充分性。事实上所有证据都是真实的。因此，如果法官是公正严明的，就应当宣判张三有罪。证明：(pq)((qr)(pr))•（1）pq假设•（2）qr假设•（3）p假设•（4）q(1)(3)蕴涵消去规则•（5）r(2)(4)蕴涵消去规则•（6）pr(3)(5)蕴涵引入规则（7）(qr)(pr)(2)(6)蕴涵引入规则•（8）(pq)((qr)(pr))•(1)(7)蕴涵引入规则证明:(pq)(qp)•(1)pq假设•(2)p假设•(3)qp(2)析取引入•(4)q假设•(5)qp(4),析取引入•(6)qp(1)(2)(3)(4)(5)析取消去•(7)(pq)(qp)(1)(6)蕴涵引入•（1）先假设整个蕴涵命题的前件•（2）如果该前件是一个蕴涵式，则继续假设此次一层级蕴涵式的前件，•（3）如后件是一个蕴涵式，则继续假设该后件的前件，依此类推•蕴涵命题的证明思路•利用的推理规则是蕴涵引入4.关系命题及其推理•4.1、关系命题：反映事物与事物之间关系的命题。•姚明和叶丽都是知名的篮球运动员。•姚明是知名的篮球运动员。•叶丽是知名的篮球运动员。•姚明和叶丽是一对恋人。•姚明是一对恋人？•叶丽是一对恋人？•4.2、关系命题的结构•关系者项：关系命题中表示某种关系的承担者的那些词项。•关系项：关系命题中表示对象之间的关系的那个词项。•量项：关系命题中表示关系者数量的那个词项。•例：所有的自然数都大于所有的负数。•4.3、关系命题的符号化•甲和乙是一对父子。•aRb(中置法)•R(a,b)(前置法)•abR(后置法)•有的甲班学生比有的乙班学生学习刻苦•xy(F(x)G(y)R(x,y))•所有甲班学生比所有乙班学生学习刻苦•xy(F(x)(G(y)R(x,y)))4.4关系的逻辑特性•4.4.1、关系的对称性问题：当一个对象与另一个对象具有某种关系时，另一个对象与这个对象是否也具有这种关系的问题。•4.4.1.1对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙也与甲具有该关系，那么，这种关系就具有对称性。•李同学和张同学是老乡。•●“等于”、“相似”、“同龄”、“邻居”等关系都具有对称性。•4.4.1.2反对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙与甲不具有该关系，那么，这种关系就具有反对称性。•五大于三。•雍正和李卫是君臣关系。•●“大于”、“小于”，以及表示重量（“重于”）和方位（在…南方）的一些关系。•4.4.1.3非对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙与甲可能具有也可能不具有该关系，那么，这种关系就具有非对称性。•●“信任”、“喜欢”、“认识”、“敬佩”等关系就具有非对称性的特点。•4.4.2、关系的传递性问题：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，对象甲与对象丙是否也具有此种关系的问题。三种情况：•4.4.2.1传递关系：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，而对象甲与对象丙必然具有此种关系，那么，这种关系就具有传递性。•张老师比王老师年长，王老师比李老师年长，因而，张老师比李老师年长。•●“年长”、“大于”、“在前”等关系都具有传递性。•4.4.2.2反传递关系：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，而对象甲与对象丙必然不具有此种关系，那么，这种关系就具有反传递性。•16是4的平方，4是2的平方，16必然不是2的平方。•甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，甲是丙的父亲。（？）•●“父子”、“平方”等关系都具有反传递性。•4.4.2.3非传递关系：当