一元二次方程复习+培优

一元二次方程复习+培优一．概念定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）例:若（m+1）(2)1mmx+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．练习：1、在4(1)(2)5xx,221xy,25100x,2280xx，2340xx,213xx,22a，223213xxx，22)12)(3(xxx中，是一元二次方程有_________个。2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠-1D．a≠3且b≠-1且c≠03、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值是___________.4、一元二次方程)1(2)2)(1(2xxx的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。二．一元二次方程的解法一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.例：用适当的方法解下列方程（1）0222xx（2）)5(2)5(32xx（3）10)1)(2(xx（4）22)6()2(xx（5）2(23)3(23)40xx（6）0)12(22aaxax（7）0)2(23222abxbax练习：1..方程29180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为。2.方程2230xx的解是_______________________3（2015绵阳）关于m的一元二次方程22720nmnm的一个根为2，则22nn=．4..一元二次方程02cbxax的一个根是1，且a,b满足等式122aab，求此一元二次方程。三．根的判别式1．一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)根的判别式:acb42⑴当0时,方程有两个不相等的实数根；(2)当0时,方程有两个相等的实数根；⑶当0时,方程没有实数根。以上三点反之亦成立。2．一元二次方程有实数根0注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0(3)证明acb42恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。例：已知关于x的方程0)21(4)12(2kxkx。（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长。练习：1.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是()A.k-74B.k≥-74且k≠0C.k≥-74D.k74且k≠02.若一元二次方程2x（kx－4）－x2＋6＝0无实数根，则k的最小整数值是（）A.－1B.2C.3D.43.当k时，222(1)5xkxk是完全平方式.4.下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（）A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为05.（2009,潍坊）关于x的方程068)6(2xxa有实数根，则整数a的最大值是(）A.6B.7C.8D.96.（2011,佳木斯）若关于x的一元二次方程0122xnx无实数根，则一次函数nxny)1(的图像不经过（）象限。A.一B.二C.三D.四7.（2012,荆门）关于x的方程02)2(2xaax只有一解（相同的解算一解），则a的值为（）A.a=0B.a=2C.a=1D.a=0或a=28.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)ymx和关于x的一元二次方程2(1)10mxmx中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．9（2016江苏省扬州市）已知M=219a，N=279aa（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定10．（2016河北省）a，b，c为常数，且222()acac，则关于x的方程20axbxc根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0四．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21xx、是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的两根，则abxx21，acxx212．设21xx、是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的两根，则：0,0)1(21xx时，有002121acxxabxx0,0)2(21xx时，有002121acxxabxx0,0)3(21xx时，有021acxx3.以两个数21xx、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x(xx)xxx例.1.设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)x13x24+x14x23；2112)2(xxxx2.(2013·湖北荆门)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x13＋2014x2－2013＝．练习：1.已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2=；x1·x2=；2111xx；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。2.关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m=时，两根互为倒数；当m=时，两根互为相反数.3.方程0322mxx的一个根为另一个根的2倍，则m=.4（2016四川省达州市）设m，n分别为一元二次方程2220180xx的两个实数根，则23mmn=．5（2016江苏省南通市）设一元二次方程2310xx的两根分别是1x，2x，则21222(3)xxxx=．6（2016湖北省黄石市）关于x的一元二次方程22210xxm的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是．7.一元二次方程250xxc有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=．（只需填一个）．8.（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足23mm，23nn，那么代数式2222015nmnm=．9.（2015十堰）已知关于x的一元二次方程()222320xmxm-+++=．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x，2x，且满足22121231xxxx+=+，求实数m的值．10、（2009淄博）已知设21,xx是关于x的方程022axx的两个实数根，且23221xx，（1）求1x，2x及a的值；（2）求21213123xxxx的值。11.（2009茂名）设21,xx是关于x的方程0142kxx的两个实数根，那么是否存在实数k，使得2121xxxx成立？请说明理由。12.（2015鄂州）关于x的一元二次方程22(21)10xkxk有两个不等实根1x，2x．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根1x，2x满足1212xxxx，求k的值．历年中考演练1.（2018成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a-1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。2.（2017成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．3.（2016成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围4.（2015）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠05（2015成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．6（2014成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．7.（2013成都）一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8.（2012成都）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是．9（2011成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（）A．n2﹣4mk＜0B．n2﹣4mk=0C．n2﹣4mk＞0D．n2﹣4mk≥010.（2010成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．11.（2010成都）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．12.（2009成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠013.（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是．14．（2007成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+4=0B．x2﹣4x+6=0C．x2+x+3=0D．x2+2x﹣1=015（2007成都）已知x是一元二次方程x2+3x﹣1=0的实数根，那么代数式的值为．16（2004成都）0已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0…②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．17．（2016湖北省荆州市）已知在关于x的分式方程121kx①和一元二次方程2(2)3(3)0kxmxkn②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根1x、2x，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根1x、2x，满足112212()()()()xxkxxkxkxk，且k为负整数时，试判断2m是否成立？请说明理由．18.（2016湖北省鄂州市）关于x的方程2(1)220kxkx．（1）求证