中考数学专题训练：类比探究类问题解析版

第1页共7页类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1)如图1，求证：AE=DF；(2)如图2，若AB=2，过点M作MGEF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；(3)如图3，若AB=32，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。（2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM=90°。∴△GEF是等腰直角三角形。第2页共7页（3）①233＜AE≤23。②△GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=23。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴MGGHEMAM。在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MGGH233EMAM2。∴∠MEG=600。由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。由（1）知△CBE≌△CDF，第3页共7页∴∠BCE＝∠DCF。∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°。又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形。∴AG＝BC。已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。∴10=4+DG，即DG=6。设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。∴AB=12。∴ABCD11SADBCAB6121210822梯形（）（）。∴梯形ABCD的面积为108。3、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=▲，并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）（5分）第4页共7页【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°。∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO。∴△BOG≌△POE（AAS）。（2）BF1PE2。证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB。∴NB=NP。∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF，即BF=12BM。∴BF=12PE，即BF1PE2。（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。由（2）同理可得BF=12BM，∠MBN=∠EPN。∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。∴BMBNPEPN。第5页共7页在Rt△BNP中，BNtan=PN，∴BM=tanPE，即2BF=tanPE。∴BF1=tanPE2。4、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求EBEF的值（用含m、n的代数式表示）。【答案】解：（1）180°－2α。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。∵AB=AD，∴∠ADB=12（180°－∠A）=α。∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴OEOB=ODOF，即OEOD=OBOF。∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=1801802180A==22。∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。第6页共7页∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴EBBG=EFDE。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。∴EBn1mDE==n1mEFDE（）。5、探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。∴点E在线段AB的垂直平分线上。在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，∴△ABD≌△BAC（SSS）。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。∴点O在线段AB的垂直平分线上。∴直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）相等。理由如下：∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。∴DNDECNCEDECEAMAEBMBEAEBE，，。∴DNCNAMBM。∴BMCNAMDN。第7页共7页∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。∴DNODCNOCODOCBMOBAMOAOBOA，，。∴DNCNBMAM。∴AMCNBMDN。∴BMAMAMBM。∴AM2=BM2。∴AM=BM。（3）作图如下：作法：①连接AC，BD，两线相交于点O1；②在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；③连接BG，AH，两线相交于点O2；④作直线EO2，交AB于点M；⑤作直线MO1。则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。