等比数列习题课

1.定义：3.通项公式的变形：an=akqn-k2.通项公式：an=a1qn-1等比数列要点整理4.性质：若m、n、p、q∈N*，m+n=p+q，则am·an=ap·aq*11(2)(),0nnnnaaqnqnNqaa或5.等比中项：若a，b，c成等比数列，则2()bacbac或等比数列知识回顾复习：等比数列的前n项和公式1(1)1nnaqSq1(1)1naaqqq11nnaaq五个量：（知三求二）1,,,,nnaqanS123456789756:{},,naaaaaaaaa练习已经数列是等比数列,且a则一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等比数列10203020,80________.1.等比数列的前项和为,如果则nnanSSSS260139910012{}603{}100_______nnaqaaaaS.若等比数列的公比,且,则的前项和80例1、求下列式子的值：（1）S=1+a+a2+a3+…+an；（2）S=(2-x)+(22-2x)+(23-3x)+…+(2n-nx).101111011naSaSnaaaSa（1）当时，当时，当且时，例1、求下列式子的值：（1）S=1+a+a2+a3+…+an；（2）S=(2-x)+(22-2x)+(23-3x)+…+(2n-nx).2(12)(123)12nxn（2）解：S=(2-x)+(22-2x)+(23-3x)+…+(2n-nx)=(2+22+23+…+2n)-(x+2x+3x+…+nx)1(1)222nnnx分组求和分组求和法主要用于{an+bn}型的数列的求和问题例2、用错位相减法求下面式子的值：23123(1,0)nSaaanaaa23123nSaaana解：23112(1)nnaSaanana①②∵由①-②可得231(1)1nnaSaaaana1(1)1nnaanaa112(1)(1)1nnnaanaSnaaa错位相减法：主要用于形如{anbn}的数列的求和问题其中，{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列112233nnnSabababab思路：122311nnnnnqSabababab①②∵由①-②可得11231(1)()nnnnqSabdbbbab…………练习：用错位相减法求下面式子的值：231222322nSn231222322nSn解：23121222(1)22nnSnn①②∵由①-②可得231122222nnSn12(12)212nnn111222(1)22nnnSnn11222nnn练习、用错位相减法求下面式子的值：231123122222nnnn231123122222nnnnS解：设（1）234111231222222nnnnS（2）23111111222222nnnS（1）（2）,可得1111[1()]112211222212nnnnnnS231123122222nnnn11222nnnS若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则形如{anbn}的数列常用错位相减法求和练习、用错位相减法求下面式子的值：①公式法：（等差或等比）②分组求和法：型如{an+bn}(an、bn可分别求和)③错位相减法：型如{anbn}(一等差，一等比)④裂项相消法：型如一般数列的求和法：1{}()nnk2.练习：（1）在等比数列{an}中，若2a4=a5+a6，则公比q=______.（2）在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，则a5=______.1.作业讲评：本P61A组11或-26练习：111111,2,3,4,24816n、数列的前项和是(1)1122nnn2、已知在等比数列{an}中，a1+a2=20，a3+a4=40，则S8=（）A、140B、120C、210D、300D23133353213nn3、（）例2．在等比数列{}na中，0na，且1964aa，3720aa，求11a。解：依题意可得3719376420aaaaaa解得37416aa或37164aa当37416aa时4,4q411764aaq当37164aa时41,4q41171aaq例2、已知三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积是64，求这三个数.,,解：依题意，可设这三个数分别为xxxqq364,4xxxqxxq即4144414qq这三个数之和为，即122qq可解得或故这三个数为2，4，8或8，4，2例3、已知在等比数列}{na中，12a，234aa（1）求数列}{na的通项公式；（2）若3nnba，求证数列{}nb也是等比数列。（1）解：2231114,2aaaqaqa∴222,20qqqq即解得q=1或q=-2∴当q=1时，2na，当q=-2时，12(2)nna（2）证明：∵3nnba∴当2na时，2nb，故此时{}nb是等比数列又∵当12(2)nna时，312(2)nnb∴3(1)11312(2)82(2)nnnnbb故此时数列{}nb是公比为-8的等比数列例3、已知在等比数列}{na中，12a，234aa（1）求数列}{na的通项公式；（2）若3nnba，求证数列{}nb也是等比数列。作业：已知等比数列na中，252,128aa．（1）求通项na；（2）若2lognnba，数列nb的前n项和为nS，且360nS，求n的值．思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（1）证明：∵an+1=2an+1∵an+1+1=2an+2=2(an+1)1121nnaa∴数列{an+1}是等比数列（2）解：∵a1=1∴a1+1=2∴数列{an+1}是一个首项为2，公比也为2的等比数列∴an+1=2×2n-1=2n故an=2n-1拓展：已知四个数前3个成等差，后3个成等比，中间两个数之积为16，前后两个数之积为-128，求这四个数。,,,2解：依题意可设这四个数分别为aaqaaaqq2162()128aqaaaqq消去a并整理得q2-2q-8=02160aqq由可知解得q=4或q=-2∴q=4∴a2=64，即a=±8∴这四个数是-4，2，8，32或4，-2，-8，-32