水力学第六章相似原理及量纲分析

相似原理与量纲分析•1960年10月十一届国际计量大会确定了国际通用的国际单位制，简称SI制。•SI制：七个基本单位：长度m，时间s，质量kg，热力学温度（Kelvin温度）K，电流单位A，光强度单位cad（坎德拉），物质的量mol•二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度Sr1、量纲表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度v的量纲表示为dimv。量纲可分为基本量纲和导出量纲。基本量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作MTLxdim（1）量纲分析法导出量纲速度dimv=LT-1加速度dima=LT-2密度dimρ=ML-3力dimF=MLT-2压强dimp=ML-1T-2MTLxdim有量纲量和无量纲量：水力学中任何物理量C的量纲可写成[C]=[M][L][T]当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。有量纲量可分为三类：1、几何学的量，α＝γ＝0，β≠0；2、运动学的量，α＝0，γ≠0；3、动力学的量，α≠0。无量纲量,1LdHJJdLL121Re,Re1LTLdLT物理量x的性质可由量纲指数α，β，γ来反映。如α，β，γ有一个不为零，则x为有量纲量。如α，β，γ均为零，即dimx=L0T0M0=1,则称x为无量纲量，也称纯数。基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。无量纲量有如下特点：①量纲表达式中的指数均为零；②没有单位；③量值与所采用的单位制无关。由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量MTLxdim无量纲量量纲公式量纲和谐量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如，动能方程221mvE212mvEgvpzgvpz2222222111量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。可改写为又如，理想流体能量方程：也可改写成12)2(21221212121vvvppgvzz量纲和谐原理是量纲分析的基础原理。凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被无数事实证实了的客观原理。例如粘性流体运动微分方程式在x方向的公式:zuuyuuxuutuuxpXxzxyxxxx21式中各项的量纲一致，都是。又如粘性流体总流的伯努力方程式:2LTwhggpzggpz222222221111式中各项的量纲均为[L]。凡正确反映客观规律的物理方程，量纲之间的关系均如此。第二节量纲分析法在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利(Rayleigh)法，用于比较简单的问题；另一种称布金汗（Buckingham，1867~1940）定理，是一种具有普遍性的方法。一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关：其中的某个物理量可表示为其他物理量的指数乘积：（1）写出量纲式：0),,,(321nqqqqfiqpnbaiqqKqq121pnbaiqqqq][][][][121将量纲式中各物理量的量纲按式(1)表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数a、b、…p,就可得出表达该物理过程的方程式。下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。求水泵输出功率的表达式。（1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量、流量Q、扬程H，即：g0,,,HQNf(2)写出指数乘积关系式cbaHQKN（3）写出量纲式：cbaHQN][][][][(4)按式（1），以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲cbaLTLTLMTLM)()()(132232(5)根据量纲和谐原理求量纲指数a1cba322ba231a1b1c[L]:[T]:得，，[M]：得：，，(6)整理方程式：K为由实验确定的系数。求圆管层流的流量关系式。[解]圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲分析的方法来讨论。(1)找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的压强差、管段长、半径、流体的粘度。根据经验和已有实验资料的分析，得知流量与压强差成正比，与管段长成反比。因此，可将、归并为项，得到：(2)写出指数乘积关系式：pl0rQpllppl0),,,(0rlpQfcbarlpKQ)()(0QHKN（3）写出量纲式：（4）按式（1），以基本量纲([M]、[L]、[T]、)表示各物理量量纲（5）根据量纲和谐求量纲指数[M]:[L]:[T]:得：，，cbarlpQ0cbaTLMLTLMTL)()()(112213ca0cba23ca211a4b1c(6)整理方程式:系数K由实验确定，，则：其中lprKrlpKQ40140)(8K404088rgJlprQlgpJ由以上例题可以看出，用瑞利法求力学方程，在有关物理量不超过4个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出各量纲指数，建立方程。当有关物理量超过4个时，则需要归并有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数，如例2。二、定理定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汗提出，又称为布金汗定理。定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即：其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量，构成的(n-m)个无量纲项所表达的关系式来描述。即：（3）0),,(21nqqqf0),,(121nF由于无量纲项用表示，定理由此得名。定理可用数学方法证明，这里从略。定理的应用步骤如下：（1）找出物理过程有关的物理量:（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动，一般取m=3。设q1、q2、q3为所选基本量，由量纲公式（1）0),,(21nqqqf111][1TLMq222][2TLMq333][3TLMq满足基本量量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于即对于不可压缩流体运动，通常选取速度－、密度－、特征长度－为基本量。（3）基本量依次与其余物理量组成项……033322211111132141cbaqqqq22232152cbaqqqq3333213nnncbannqqqq1q2ql3q（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a、b、c。（5）整理方程式。[例]求有压管流压强损失表达式。[解]：（1）找出有关物理量。由经验和对已有资料的分析可知，管流的压强损失与流体的性质（密度、运动黏度）、管道条件（管长、直径、壁面粗糙高度）以及流动情况(速度)有关，有关量数。（2）选基本量。在有关量中选、、为基本量，基本量数。（3）组成项，数为。、、ldsk7n4mn1111cbadp2222cbadpd3m3333cbadl4444cbasdk（4）决定各项基本量指数。：［M]：，[L]：，[T]：，得，，，：1111][][][][cbadp111)()()(3121cbaLMLTLTLM11c11132cba12a21a01b11c21p2222][][][][cbad［Ｍ］：，［Ｌ］：，［Ｔ］：，得，，，：不需对量纲逐个分析，直接由无量纲条件得出，，，：由无量纲条件直接得出，，，（5）整理方程式20c22232cba21a12a12b02cd2303a13b03cdl3404a14b04cdks40),,,(2dkdldpfs对求解得:与管道长度成比例，将移至函数式外面得:，整理得:，即：0),,,(21dkdldpfs2p),,(22dkdldfpspldl),,(22dkdldfpsgdlgdldkfgps22)(Re,224)(Re,4dkfs管道压强损失的计算公式为了实验研究水流对光滑球形潜体的作用力，要求预先作出实验的方案。[解]水流对光滑球形潜体的作用力D与水流速度、潜体直径、水的密度、水的黏度诸物理量有关。即：应用量纲分析方法组织实验，首先找出有关量由定理，选，，为基本量，组成各项：d),,,(dfD0),,(，dD，fd按项无量纲，决定基本量指数：，，；，，。整理方程式：1111cbadD2222cbad21a21b11c12a12b12c0),(22ddDf)(122dfdD式中无量纲项为阻力系数；为雷诺数。由上面分析可知，实验研究对光滑球形潜体的作用力，归结为实验测定阻力系数Cd与雷诺数Re的关系。这样一来，实施这项实验研究只需用一个球，在一个温度的水流中实验，通过改变水流速度，整理成不同Re和Cd的实验曲线，如图所示。按式(4)2248(Re))(2222222CdAdfddfD(Re)8(Re)2FfCdvdvdRe（4）圆球阻力系数图及图计算流体对光滑球形潜体的作用力，对不同尺寸的球和不同粘度的流体都是适用的。三、量纲分析方法的讨论以上简要介绍了量纲分析方法，下面再作几点讨论。（１）量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理，即凡正确反映客观规律的物理方程，量纲一定是和谐的。（２）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。上个世纪，量纲分析原理为发现之前，力学中积累了不少纯经验公式。每一个经验公式都有一定的实验根据，都可用于一定条件下流动现象的描述。量纲分析方法可以从量纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经验的范围内解脱出来。（３）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观规律，和所选人的物理量是否正确有关。而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示，可能由于遗漏某一个具有决定性意义的物理量。导致建立的方程式失误，也可能因选取了没有决定性意义的物理量，造成方程中出现累赘的量纲量，这种局限性是方法本身决定的。研究量纲分析方法的前驱者之一瑞利，在分析流体通过恒温固体的热传导问题时，就曾遗漏流体动力粘度的影响，而导出一个不全面的物理方程式。弥补量纲分析方法的局性，就需已有的理论分析和实验成果，应依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。（４）由例4可以看出，量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通力学理论和实验之间的桥梁。x1=f(x2，x3,……,xn)1=f(2,3,……,n-m)提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914):定理方法充要条件n个物理量m个独立基本量n-m个导出量选m个独立基本量组成n-m个