【红对勾】2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件：1-3-1诱导公式二、三、四 (数理化网

1.3三角函数的诱导公式练习【例1】计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°；(3)cosπ7＋cos2π7＋cos3π7＋cos4π7＋cos5π7＋cos6π7.给角求值分析：先利用诱导公式变化角，从而把式子转化成锐角三角函数，再结合其他公式求解【解】(1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sinπ6＋cosπ3＝12＋12＝1.(2)原式＝1＋2sin－70°＋360°cos70°＋360°sin180°＋70°＋cos70°＋2×360°＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°2cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.(3)原式＝(cosπ7＋cos6π7)＋(cos2π7＋cos5π7)＋(cos3π7＋cos4π7)＝[cosπ7＋cos(π－π7)]＋[cos2π7＋cos(π－2π7)]＋[cos3π7＋cos(π－3π7)]＝(cosπ7－cosπ7)＋(cos2π7－cos2π7)＋(cos3π7－cos3π7)＝0.通法提炼已知角求值，关键是灵活利用诱导公式转化已知角，一般的思路是：负变正，大变小，钝变锐，最后将其转化为特殊锐角的三角函数值进行求解.角的变化是确定运用哪组诱导公式的依据，所以应该注意角的合理转化.求下列三角函数值；(1)sin4π3·cos25π6·tan5π4.(2)sin[(2n＋1)π－2π3]．解：(1)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4＝－sinπ3cosπ6tanπ4＝－32·32·1＝－34.(2)sin2n＋1π－2π3＝sinπ－2π3＝sinπ3＝32.【例2】(1)已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－45B.45C．－35D.35给值求值(2)已知sin5π7＝m，则cos2π7的值等于()A．mB．－mC.1－m2D．－1－m2(3)已知cosπ6－α＝33，则cos5π6＋α－sin2α－π6的值为________．【解析】(1)因为sin(π＋α)＝35，所以sinα＝－35，又α是第四象限角，所以cosα＝1－－352＝45，所以cos(α－2π)＝cosα＝45.故选B.(2)因为sin5π7＝sinπ－2π7＝sin2π7＝m，且2π7∈0，π2，所以cos2π7＝1－m2.故选C.(3)因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝23，所以cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.【答案】(1)B(2)C(3)－2＋33通法提炼解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．若P(－4,3)是角α终边上一点，则cosα－3π·tanα－2πsin2π－α的值为________．解析：由已知得sinα＝35，原式＝－cosαtanαsin2α＝－cosαsinαcosαsin2α＝－1sinα＝－53.答案：－53【例3】化简下列各式：(1)cos190°·sin－210°cos－350°·tan－585°.(2)1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°.利用诱导公式进行化简【分析】利用公式一、二、三将各三角函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分、化简．【解】(1)原式＝cos190°·－sin210°cos350°·－tan585°＝cos180°＋10°·sin180°＋30°cos360°－10°·tan360°＋225°＝－cos10°·－sin30°cos10°·tan225°＝sin30°tan180°＋45°＝sin30°tan45°＝12.(2)原式＝1＋2sin360°－80°·cos360°＋80°sin180°＋80°＋cos720°＋80°＝1－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin280°＋cos280°－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin80°－cos80°2－sin80°＋cos80°＝|sin80°－cos80°|cos80°－sin80°＝sin80°－cos80°cos80°－sin80°＝－1.通法提炼利用诱导公式进行运算时，要特别注意符号变化，不仅要正确使用公式本身的符号，而且要正确进行符号运算.化简：cosα＋πsin2α＋3πtanα＋πcos3－α－π.解：原式＝－cosα－sinα2tanα－cosα3＝sin2αtanα·cos2α＝tan2αtanα＝tanα.【例1】(1)已知sin10°＝k，则cos620°的值等于()A．kB．－kC．±kD．不能确定利用诱导公式解决求值问题(2)(2013·广东卷)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25(3)计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.【解析】(1)∵cos620°＝cos(2×360°－100°)＝cos(－100°)＝cos100°＝cos(90°＋10°)＝－sin10°∴cos620°＝－k，故选B.(2)sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.故选C(3)因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋222＝892.【答案】(1)B(2)C(3)892通法提炼已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系；②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．已知cosπ6－α＝23，求下列各式的值：(1)sinπ3＋α.(2)sinα－2π3.解：(1)sinπ3＋α＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α＝23.(2)sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.【例2】化简：sin2π＋αcosπ－αcosπ2－αcos7π2－αcosπ－αsin3π－αsin－π＋αsin5π2＋α.【分析】分析角的特点，把角变形到能用诱导公式的形式．利用诱导公式化简【解】原式＝sinα－cosαsinαcos[2π＋π＋π2－α]－cosαsin[2π＋π－α]sin[－π－α]sin[2π＋π2＋α]＝sinαsinαcos[π＋π2－a]sinπ－α[－sinπ－α]sinπ2＋α＝sinαsinα[－cosπ2－α]sinα－sinαcosα＝sinα－sinα－sinαcosα＝tanα.通法提炼化简变形时，通常先用诱导公式将三角函数式的角度统一后，再用同角三角函数的基本关系，这样可以避免公式交错使用时导致混乱.化简tan3π－αsinπ－αsin3π2－α＋sin2π－αcosα－7π2sin3π2＋αcos2π＋α.解：tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin3π2－α＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，cosα－7π2＝cosα＋π2＝－sinα，sin3π2＋α＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，所以，原式＝－tanαsinα－cosα＋－sinα－sinα－cosαcosα＝1cos2α－sin2αcos2α＝1－sin2αcos2α＝cos2αcos2α＝1.【例3】证明下列等式：(1)sinθ－5πcosπ2－θsinπ2＋θcos3π－θcos3π2＋θsin－4π－θ＝－1.(2)tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα－3π2cosα＋3π2＝tanα.利用诱导公式证明等式【证明】左边＝－sin5π－θsinθcosθcosπ－θsinθ[－sin4π＋θ]＝－sinπ－θsinθcosθ－cosθsinθ－sinθ＝－sinθsinθ＝－1＝右边，故原式得证．(2)左边＝tan－α[－cosπ2－α]cos－αsinα＋π2cosα－π2＝－tanα－sinαcosαcosαsinα＝tanα＝右边，所以原式成立．通法提炼利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：1从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.2左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.3针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同.求证：cosx－5πtan2π－xcos3π2＋x＋tan2(π－x)＝1＋tan2x.证明：左边＝cos4π＋π－x·tan2π－xcosπ＋π2＋x＋tan2x＝cosπ－x·tan－x－cosπ2＋x＋tan2x＝cosx·tanxsinx＋tan2x＝1＋tan2x＝右边．提高篇03自我超越——易错警示系列——混淆公式导致错误对本节知识的理解与运用中，常出现的错误是混淆nπ＋α(n∈Z)与2kπ＋α(k∈Z)三角函数，原因是忽略了n的奇偶性．【例】化简：cos(4n＋14π＋x)＋cos(4n－14π－x)(n∈Z)．【错解】原式＝cos(nπ＋π4＋x)＋cos(nπ－π4－x)＝cos(π4＋x)＋cos[－(π4＋x)]＝2cos(π4＋x)【错解分析】错在没有对n进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透．【正解】原式＝cos(nπ＋π4＋x)＋cos(nπ－π4－x)．(1)当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋π4＋x]＋cos[(2k＋1)π－π4－x]＝－cos(π4＋x)－cos(－π4－x)＝－2cos(π4＋x)；(2)当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos(2kπ＋π4＋x)＋cos(2kπ－π4－x)＝cos(π4＋x)＋cos(－π4－x)＝2cos(π4＋x)．故原式＝－2cosπ4＋x，n为奇数，2cosπ4＋x，n为