矢量运算

矢量聊城大学物理科学与信息工程学院一、标量和矢量在物理学中有两种物理量：(1)标量：(2)矢量：如质量、时间、功、能量、温度等。表示：数字（可带正负号）。加减法：代数和。如位移、速度、加速度、力、动量、冲量等。定义：只有大小和正负，没有方向的物理量。定义：即有大小又有方向的物理量。矢量聊城大学物理科学与信息工程学院①只有大小相等、方向相同的两个矢量才相等；②若大小相等、方向相反，则互称负矢量；A单位表示：①矢量通常用带箭头的字母表示，如，或黑体字母A表示。A②在空间用一有向线段表示，如注意：BAACCABA矢量聊城大学物理科学与信息工程学院③将一矢量平移后，矢量的大小和方向不变，二、矢量的模和单位矢量矢量的大小称为矢量的模，用A或表示。A如果某一矢量的模大小为1，且方向与矢量相同，则称该矢量为矢量的单位矢量，用表示。AAeeAAeA空间直角坐标系，常用分别表示轴的单位矢量。kji,,zyx,,AABBoAAe矢量聊城大学物理科学与信息工程学院三、矢量的加法和减法(1)平行四边形法则(三角形法则）ABBCoBACABC两个矢量相加ABCABBACA矢量聊城大学物理科学与信息工程学院合矢量的大小和方向)180cos(222ABBACcos222ABBAcossinBABtgBCoBBACA)cossin(BABarctg问题：如何计算多个矢量相加？oABCDAABCEDDCBAE矢量聊城大学物理科学与信息工程学院两个矢量相减AB)(BABABAoBBAoC(2)矢量合成的解析法限制分矢量个数和方向二分矢量：取平面直角坐标系三分矢量：取空间直角坐标系A矢量聊城大学物理科学与信息工程学院sinAAycosAAx22yxAAAxyAAarctgjAiAAyxjBiBByxyxBxAyAACxByBxCyCyxAxAyAo①平面直角坐标系jAiAAyx两矢量相加BAjBAiBACyyxx)()(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院xxxBAC22yxCCCxyCCarctgyyyBACyxBxAyAACxByBxCyCjBAiBACyyxx)()(其中jCiCCyx则两个以上矢量相加...CBASjCBAiCBAyyyxxx...)(...)(jSiSyx②空间直角坐标系xzyoAxAzAyAijkiAAxxjAAyyjAAzzkAjAiAAzyx222zyxAAAAAAAAAAzyxarccos,arccos,arccos两矢量相加减BAkAjAiAAzyxkBjBiBBzyxkBAjBAiBABAzzyyxx)()()(kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院四、矢量的乘积一个数m和一个矢量相乘得另一矢量，则ACAmCC矢量的大小为mACC矢量的方向为若m0，与同想向；A①矢量乘以标量Am0，与反向。性质：BmAmBAm)(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院②矢量的标积SFWcosFS如上，两矢量相乘得到一个标量，称为标积或点积。定义为cosABBA则SFWcosSF性质：ABBA）（1ABBA时，）当（02023BA时，）当（CABACBA)(）4（矢量聊城大学物理科学与信息工程学院根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系zzyyxxBABABAkAjAiAAzyx0,1kjkijikkjjiikBjBiBBzyx)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyx若具有如下两个矢量则矢量聊城大学物理科学与信息工程学院③矢量的矢积若两矢量和相乘得到一个矢量的叫做矢积，定义为ABBAC矢量的大小为CsinABC矢量的方向CABC符合右手螺旋法则矢量聊城大学物理科学与信息工程学院性质：ABBA）（1CABACBA)(）2（003BA时，）当（ABBA时，）当（240kkjjiijikikjkji根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系矢量聊城大学物理科学与信息工程学院kAjAiAAzyxkBjBiBBzyxzyxzyxBBBAAAkjiBA若具有如下两个矢量则kBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院五、矢量函数的导数和微分（1）矢量函数在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量与变量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则称为t的矢量函数，即AAktAjtAitAtAzyx)()()()(恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。矢量聊城大学物理科学与信息工程学院（2）矢量函数的导数当变量t改变Δt时，)()(tAttAAktAjtAitAtAzyx)()()()(定义：tAdttAdt0lim)(ktAjtAitAztytxt000limlimlimkjizyxAAA)()()()(),()(tAttAAtAttAAtAttAAzzzyyyxxx矢量聊城大学物理科学与信息工程学院即ktAjtAitAdttAdztytxt000limlimlim)(kdttdAjdttdAidttdAzyx)()()(可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。该矢量函数的导数矢量大小为dttAd)(该矢量函数的导数矢量方向其方向为当时的极限方向。即为曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。0tA)(tAdtdAA)(tA)(ttA矢量聊城大学物理科学与信息工程学院同理可以得到该矢量函数的导数矢量二介导数：kdtAdjdtAdidtAddtAdzyx22222222矢量函数的导数性质：dtBddtAdBAdtd)()1(dtAdmAdtdmAmdtd)()2(dtBdABdtAdBAdtd)()3(dtBdABdtAdBAdtd)()4(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院oxyz)(tr)(ttr)(trttr)(dttrd)(物理应用ktzjtyitxtr)()()()(Δt内平均速度vttr)(Δt→0时，瞬时速度dttrdv)(kdttdzjdttdyidttdx)()()(同理加速度为：kdttzdjdttydidttxddttvda222222)()()()(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院（3）矢量函数的积分若矢量函数的导数已知，即)(tA)(tB)()(tBdttAd则矢量函数称矢量函数的积分，记作)(tA)(tBdttBtA)()(ktBjtBitBzyx)()()(dtktBjtBitBzyx)()()(kdttBjdttBidttBzyx)()()(kAjAiAzyx矢量聊城大学物理科学与信息工程学院矢量函数的积分性质：dtBdtAdtBA)()1(为常量）mdtAmdtAm(,)2(dtBA)()3(dtBA)()4(dtBABABAzzyyxxdtkBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()(矢量聊城大学物理科学与信息工程学院物理应用①已知加速度，求速度dtvdadtavddtav②已知速度，求位移dtrdvdtvrddtvr③变力冲量dtIdFdtFIddtFI矢量聊城大学物理科学与信息工程学院④力的功元功为dWsdFdsFdWcosabFsdbabasdFdsFWcos若ab闭和，则功有absdFW矢量聊城大学物理科学与信息工程学院例0-1已知两矢量：kjia34，kjib543，通过矢量运算求：（1）以a、b为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；（2）该平行四边形的面积；（3）该平行四边形的内角。矢量聊城大学物理科学与信息工程学院解：（1）kjiba47，12.8661balkjiba67，27.9862bal（2）bakjikji2523115431347.35baS（3）cosabba.58'97139.050265cos0abba矢量聊城大学物理科学与信息工程学院例0-2已知两矢量函数：jita2)12(，jtib)32(。（1）?t时ba；（2）?t时ba//；（3）?dtad，?dtbd；（4）?20dta，?20dtb矢量聊城大学物理科学与信息工程学院解：（1）850)32(2)12(0tttbaba（2）67002)32)(12(0//ttttbaba或（3）idtad2，jdtbd3（4）jijdtidttdta42)2(])12([202020