高考文科数学总复习

高考总复习.文科数学直线与圆的方程高考总复习.文科数学第六课时圆的方程高考总复习.文科数学考纲要求高考总复习.文科数学掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.高考总复习.文科数学知识梳理高考总复习.文科数学一、圆的标准方程设圆心C坐标(a,b)，半径是r,则圆C的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，圆心为O(0,0)时，标准方程为x2+y2=r2.二、圆的一般方程当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，其圆心为_________，半径r=_________DE(-,-)22242EF2D高考总复习.文科数学三、圆的直径式方程以(x1,y1)、(x2,y2)为直径的圆的方程可写为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.四、二元二次方程表示圆的充要条件设二元二次方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.①故方程①表示圆的充要条件为：A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF0，而A=C≠0，B=0，只是方程①表示圆的必要条件.高考总复习.文科数学五、常见的圆系方程及其应用（属知识拓展）1.过定直线l:Ax+By+C=0和定圆x2+y2+Dx+Ey+F=0两交点的圆系：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.2.过两定圆x2+y2+D1x+E1y+F=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，当λ=-1时，方程表示两圆公共弦所在直线方程.高考总复习.文科数学基础自测高考总复习.文科数学1.圆x2＋y2－2x＋2y=0的周长是（）A.2πB.C.D.4π222答案：C2.方程x2＋y2＋2k2x－y＋k＋1/4=0所表示的曲线关于y＋2x＋1=0对称，则k的值为（）A.B.C.D.不存在323232答案：B高考总复习.文科数学3.（2009年陕西卷）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为__________.234.（2008年天津卷）已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+(y+1)2=18.高考总复习.文科数学典例试解高考总复习.文科数学根据下列条件，求圆的方程.(1)和圆O：x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为思路分析:在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程;若已知条件与圆心、半径的关系不大，则设圆的一般方程.高考总复习.文科数学(1)设圆心Q的坐标为(a，b)，∵⊙O与⊙Q相外切于P，∴O、P、Q共线，且∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16.633,4223(,)(1,3),3,33.2OQOQQPQPababab求得高考总复习.文科数学(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：即x+y-1=0，解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心C的坐标为(4，-3).又圆的半径r=|OC|=5,∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.2222(1)(1)xyxy高考总复习.文科数学(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x=0，由①得y2+Ey+F=0④由已知|y1-y2|=，其中y1、y2是方程④的两根.43∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤高考总复习.文科数学解由②、③、⑤组成的方程组，得D=-2E=0F=-12D=-10E=-8F=4或故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.点评：无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求.一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式.高考总复习.文科数学变式探究1.求经过点A(5,2)、B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.答案：(x-4)2+(y-5)2=10高考总复习.文科数学一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程.27思路分析:利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+(y-b)2.又因为直线y=x截圆得弦长为，则有解得b=±1.故所求圆方程为（x－3)2+（y－1)2=9或（x+3)2+（y+1)2=9.272223792bbb高考总复习.文科数学点评:在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.高考总复习.文科数学变式探究2.一圆经过两点A(4,2)、B(-1,3)，且在两坐标轴上四个截距之和为2，求圆的方程.答案：x2+y2-2x-12=0高考总复习.文科数学求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.思路分析:面积最小的圆即为半径是最小的圆.解析：设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.∴圆的半径为22214(1)(4)4(14)218165().255r高考总复习.文科数学∴当λ=8/5时，r最小，此时圆的方程为222288322(1)(4)10,5552612370555xyxyxyxy即高考总复习.文科数学变式探究3.设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.答案：（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2高考总复习.文科数学设A(－c,0)、B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.思路分析:根据题设可直接由题中条件，建立方程关系,然后化简方程.解析：设动点P的坐标为（x，y）.由化简得(1－a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1－a2)+(1－a2)y2=0.2222(0),().()PAaaPBxcyaxcy得高考总复习.文科数学22222222222(1)10,112()().11caaxxcyaaacxcyaa2当，得整理得当a=1时，化简得x=0.所以当a≠1时，P点的轨迹是以为圆心，221(,0)1aca为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.高考总复习.文科数学点评:本题的解法是直接由题中条件，建立方程关系，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法.主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.变式探究4.动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是__________.答案：(2x－3)2+4y2=1高考总复习.文科数学已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.思路分析:问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解析：如右图所示，取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.高考总复习.文科数学⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA)|=|MC|，AB又是⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9∴x2+y2+9=|y+3|2.即：x2=6y这就是动圆圆心的轨迹方程点评:建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”.求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件.高考总复习.文科数学变式探究5.设定点M(-3，4)，动点N在圆O：x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.答案：(x+3)2+(y-4)2=4，且除去两点：9122128(,)(,)5555和高考总复习.文科数学课时升华高考总复习.文科数学1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.高考总复习.文科数学3.解析几何中与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.4.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.5.如果问题中给出了圆心与两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.高考总复习.文科数学6.在一般方程中，当D2+E2－4F=0时，方程表示一个点，当D2+E2－4F0时，无轨迹.7.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.8.与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等.(,)22DE高考总复习.文科数学体验高考高考总复习.文科数学1.（2009年上海卷）点P（4，－2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A.（x-2）2+（y+1）2=1B.（x-2）2+（y+1）2=4C.（x+4）2+（y-2）2=4D.（x+2）2+（y-1）2=12.（2009年辽宁卷）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A.（x+1）2+（y-1）2=2B.（x-1）2+（y+1）2=2C.（x-1）2+（y-1）2=2D.（x+1）2+（y+1）2=2答案：A答案：B高考总复习.文科数学祝您