分步计数原理分类计数原理

分步计数原理分类计数原理一学生从外面进入教室有多少种走法？若进来再出去，有多少走法？引入课题要回答上述问题，就要用到计数原理的知识．它是一个重要的数学方法，粗略地说，计数原理就是研究按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做法．在运用计数原理经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。2010年6月11日——7月10日在南非举行的第19届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？分类加法计数原理如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第n类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有1m2mnmN=m1+m2+…+mn种不同的方法注:⑴把完成一件事的所有方法分类.(注意不重不漏)⑵分类──类类相加.(每类中的每一种方法都独立完成这件事)例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有6+4=10种这种算法有什么问题？在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不能出现相同的。问题1：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3×2＝6种不同的走法．思考？问题2：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？分步乘法计数原理完成一件事需要分二个步骤，在第1步中有m种不同的方法，在第2步中有n种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.nmN例3：设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？探究：如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法注:分步──步步相乘.例4：某区的部分电话号码是8776××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?1、由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(2)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？变式：2、如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ＡＢＣＤ3、4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的位数？解：分三个步骤：第一步：首位可放8－1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分步计数原理，可以组成N=7×6×4=168个数.1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题分类计数原理分步计数原理完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。即：类类独立，步步关联。例4、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?（3）从书架上任取2种不同类型的书各1本，有多少种不同的取法？注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例6.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项.解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项).例7.由0,1,2,3，4,5这五个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？其中能被5整除共有几个？(2)可以有重复数字的三位数？跟踪训练1用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？巩固练习1.填空：①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.2.现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有种.4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法.[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A．12种B．7种C．24种D．49种[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.[例4]集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A为定义域B为值域的不同函数？[例5]用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？1.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？2．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？3.某地提供A、B、C、D四个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种4、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？我们可排出所有的分配方案：（1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案为：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案为：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分类计数原理，共有3+3+3=9种.另外，此题也可分步解决：第一步：甲取一张，有3种取法；第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法.由分步计数原理得不同取法有3×3×1×1=9种.小结：分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系．