5.3数理统计中的某些常用分布

第五章数理统计的基本知识§5.3数理统计中的某些常用分布设随机变量kXXX,,,21相互独立，并且都服从标准正态分布)1,0(N，则随机变量222212kXXX的概率密度为.0,0;0,e)2(21)(22221xxxkxfxkkk即为独立随机变量的个数.1.数理统计中的三大分布分布2[定理1]称为自由度为的分布，并记作.)(~22k2k其中.)(01dtetxtx,π)2/1(,1)1(.N)(!)(nnn11k时，其概率密度为.0,0;0,eπ21)(221xxxxfx)1(~222k时，其概率密度为.0,0;0,e21)(2xxxfx服从参数为21的指数分布.分布的性质2性质1),(~1221n设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)),(~22iin设,立独22,21并且),(~2222n).(~2122221nn则,独立相互并且),,2,1(2miimii12则~).(212mnnn.2分布服从使得CY体为来自总服从设),,,(,)1,0(621XXXNX例1解根据正态分布的性质,),3,0(~321NXXX),3,0(~654NXXX,C试决定常数26542321)()(XXXXXXY,的简单随机样本X),1,0(~3321NXXX则),1,0(~3654NXXX),1(~322321XXX故),1(~322654XXX,,,,2621分布的可加性相互独立及因为XXX2654232133XXXXXX~,31C所以])()[(3126542321XXXXXX),2(2.2分布服从CY设随机变量X和Y相互独立，且,)1,0(~NX)(~2kY，则随机变量的概率密度为kYXt分布分布)t(student[定理2]称为自由度为的分布，并记作.)(~ktttk.,1)(212221zkzkzfkkkt21//kYkXF设随机变量与相互独立，XY则随机变量的概率密度为.0,0;0,)(222)(2)(21121212121212221zzkzkzkkkΓkΓkkΓzfkkFkkk称为自由度为),(21kk的F分布，记作),,(~21kkFF其中1k是为第一自由度；2k为第二自由度.分布F[定理3],)(~12kX,)(~22kY).,(~112nnFF则),,(~21nnFF若分布的性质F2分位数定义),(xfX的概率密度为设随机变量对于给定的),1,0(称满足条件XdxxfXXP)()(.分位数的上为的数XX,,)1,0(~Nu设随机变量u(P若uu)则称为此正态分布的上分位数.[定义1]标准正态分布的分位数-3-2-101230.00.10.20.30.4xxN(0,1)u性质：)()1(tu双侧分位数)2(-3-2-101230.00.10.20.30.4xxN(0,1)u22u221)(22uuuP？如何求u查表)(uuP1)(uuP.1)(uΦ即：解：求标准正态分布的上分位数..05.0其中95.0)65.1(Φ查表得.65.105.0u[例1]95.005.01所以[例2].05.0.2u求解：975.0025.0121975.0)96.1(Φ查表得.96.1025.0u所以05.0)65.1(uP即：95.0)96.196.1(uP即：))((22kP例如：,01.02.23)10(2P即：)10(201.00510150.000.050.100.15xf2x0510150.000.050.100.15xf2x2k)(22k分布的分位数查附表301.0,10k2.23.1))()((222122kkP例如：;5.20)10(2025.0,))](())([(2221222kkP双侧分位数：,95.05.20)10(25.32P即：.25.3)10(2975.00510150.000.020.040.060.080.100.120.14xf2x2n122n222n205.0,10k.)()()(kttdxxfkttP)(kt-3-2-101230.10.20.3xftx-3-2-101230.10.20.3xftxtk分布的分位数t性质：ut)()1(双侧分位数)2(1))()((22kttktP查附表4:例如:05.0,8k31.2)8(05.0t86.1)8(025.0t.)()),((),(2121kkFFdxxfkkFFP),(21kkFF分布的分位数：012340.00.20.40.6xfFx012340.00.20.40.6xfFxFk1,k2双侧分位数1)),(),((2121122kkFFkkFP)5,10(05.0F例如:性质：对于给定的1k，2k及，有.),(1),(12211kkFkkF查附表547.405.0,5,1021kk)5,10(025.0F62.6)5,10(025.01F)10,5(1025.0F24.412.利用附表查三种分布的上侧分位数并求概率.1.2分布、t分布、F分布的定义及性质.小结.)(~2k.)(~kt.),(~21kkF222212kXXXkYXt21//kYkXF,,,2,1,)1,0(~kiNXi相互独立,)(~12kX,相互独立与YXkY,)(~22,相互独立与YXkY,)(~2,)1,0(~NX思考题设随机变量和都服从标准正态分布，则XY（A）YX服从正态分布（B）22YX服从2分布（C）和都服从22YX2分布（D）22YX服从F分布分析:则（A）、（B）、（C）、（D）四个答案都正确。如果与相互独立且都服从标准正态分布，XY所以不能肯定（A）、（B）、（D）正确.答案应选（C）现在因为并未指出与相互独立，XY