联合分布与边缘分布的关系

联合分布函数与边缘分布函数的关系()(,);()(,).XYFxFxFyFy3.2边缘分布1()(,),iXijxxjFxFxp1()(,).jYijyyiFyFyp由联合分布律求边缘分布函数()(,)(,)()(,)(,)xXyYFxFxdxfxydyFyFydyfxydx由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数由(X,Y)的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…111{}{,()}{,},1,2,...iijjijijijjPXxPXxYyPXxYyppi111{}{(),}{,},1,2,...jijiijijjiiPYyPXxYyPXxYyppj二、二维离散型随机变量的边缘分布律1x1xi11pjp11ipijppi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY联合分布律及边缘分布律.),(,d),()(,d]d),([),()(),,(),,(的边缘概率密度关于称其为随机变量记由于密度为设它的概率对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX定义三、连续型随机变量的边缘概率密度同理可得Y的边缘概率密度,dd),(),()(yYyxyxfyFyF()(,)d.Yfyfxyx解yyxfxfXd),()(,10时当xxy2xyOxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6.)(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量例5●●).(62xx,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX.,0,10),(6)(2其他因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(,10时当yxyxfyfYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY.,0,10),(6)(其他得yyyyfYyyxd6).(6yyxy2xyOxy)1,1(●●例6设(X,Y)在区域上服从均匀分布,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.{(,)01,}Gxyxyx的概率密度为设二维随机变量),(YX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.的边缘概率密度试求二维正态随机变量,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中例7(,)fxy2211222221212()()()()122(1)xxyye21212122222212212()()(1))()12(1xyye2121212122222122()((2))(1)2xyyee212121(,)fxy2122222122()((2))(1)2xyyee21212122222()22ytee212121()(,)Yfyfxydx2222222()ytteed212211dxdt2111dxttdddxdx令12122()()1xyt2222()2ye212()Yfy2222~(,)YN【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数.【说明】对于确定的1,2,1,2,当不同时,对应了不同的二维正态分布.在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.221212(,)~(,,,,)XYN即221122~(,),~(,)XNYN联合分布边缘分布【结论】在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?问题.,,,,他们都有自己的分布机变量都是随和则记此人的体重和身高和用分别从其中随机挑选一个人考虑一大群人YXYX1.5m,.YX现在如果限制取值为在这个限制下求的分布3.3条件分布一、离散型随机变量的条件分布1(,),,,{,}{},1,{2,,{0}.}jijiijijijjjjXYjPXxYypPXxYyiPYypYyPXYyp　设是二维离散型随机变量对于固定的若则称为在条件下随机变量的条件分布律定义1,,{,}{},1{},2,,{}.0iijjijijjiiiiiPXxYyPXxpPYyXxjPXxxYppX对于固定的若则称为在条件下随机变量的条件分布律【说明】①条件分布的本质是条件概率,离散型r.v.X在{Y=yj}发生的条件下的条件分布律,就是在{Y=yj}发生条件下将X每一个可能取值及取值的条件概率列出.②条件分布律满足分布律的充要条件:111(1){}0,1,2,;1(2){}1.ijijjijjijijiiijjjpPXxYyipppPXxYypppp类似乘法公式(求联合分布律){}0{,}{}{},{}{},,1,2,{}0ijijijjiijPXxYyPXxPYyXxPYyPXxYyiPXjxPYy或类似全概率公式(求边缘分布律)111{}0{}{,}{}{},,1,2,iijijjjijjjjPXxpPXxYyPXxYyPYyyiPY111{}{,}{}{},,1,2}0,{jijijiijiiiiPYypPXxYyPYyXxPXxPXjx类似逆概公式(求条件分布律)1{}{}{},{}{}1,2,jiiijjkkkPYyXxPXxPXxYyPYyXxPXxi【练习】已知(X,Y)的联合分布律XY0120123/283/289/281/145/141/28000求:Y=1时,X的条件分布律.例1把三个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,每盒可容球数无限.记X为落入1号盒的球数,Y为落入2号盒的球数，求(1)在Y=0的条件下，X的条件分布律；(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律.例2一射手进行射击,每次击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布律及条件分布律.二、连续型随机变量的条件分布00{,}lim{}lim{}PXxyYyPXxyYyPyYy定义给定y,对于任意固定的}.0,0{yYyP若对于任意实数x,极限{}().XYPXxYyFxy或存在,则称此极限为在条件Y=y下,X的条件分布函数,记作【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是确定的数.但是当Y是连续型r.v.时,条件分布不能用直接定义,因为,我们只能讨论Y取值在y附近的条件下，X的条件分布.{}PXxYy{}0PYy00{,}lim{}lim{}PXxyYyPXxyYyPyYy0(,)(,)lim()()YYFxyFxyFyFy0(,)(,)/lim()()/YYFxyFxyFyFy(,)()YFxyydFydy(,)(,)()()xxYYfxydxfxydxfyfy()XYFxydef.{}PXxYy连续()0,Yfy(,)fxy连续(,)(,),(,)().(,),,(),(,)().())0(XYYYYYXYfxyXYYfyfxfxyyyfxyfyYfyyfyX设二维随机变量的概率密度为关于的边缘概率密度为若对于固定的则称为在的条件下的条件概率密度记为定义(,)))d.((yYXXfxyfFyxyx()0Xfx同理,当时,(,)(){}d()xXYYfxyFxyPXxYyxfy则【说明】(),XYFxy()XYfxy仅是x的函数,此时y是常数.(,)()()()0()()()0XXYXYYXYfxyfxfyxfxfyfxyfy类似于乘法公式(求联合概率密度)条件概率密度满足概率密度的充要条件:(1)()0;(,)()(2)()1.()()XYYXYYYfxyfxydxfyfxydxfyfy利用条件概率密度可计算Y=y条件下,与X有关的事件的条件概率:{}()XYLPXLYyfxydx类似于全概率公式(求边缘概率密度)()(,)()()XYXYfxfxydyfxyfydy()(,)()()YXYXfyfxydxfyxfxdx(,)()Yfxyfy类似于Bayes公式(求条件概率密度)()XYfxy()()()XYXYfyxfxfy(,)()Xfxyfx()YXfyx()()()YXYXfxyfyfx联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布边缘分布条件分布联合分布例3已知(X,Y)服从圆域x2+y2r2上的均匀分布,求(),().XYYXfxyfyxr22rx22rxx-r例4已知,221122(,)~,;,;XYN求.()XYfxy解(,)()()XYYfxyfxyfy22112222212122222()()()()122(1)212()2212112xxyyyee211222211()2(1)21121xye同理，2222121()~(),(1)YXfyxNx2211212()~(),(1)XYfxyNy【说明】二维正态分布的条件分布仍为正态分布.例5设8,0,01(,)0,xyxyyfxy其它求(),().XYYXfxyfyx11例6已知222,14(1),01(),()10,0,XYXyxyxxxfyxfxx其它其它求21{1},{0.5},{},3221{}.32PXYPYPYXPYX11