函数的单调性与奇偶性

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）考纲要求考情分析结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义.从近三年的高考试题分析1．对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，如2012年陕西卷2.利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，如2012年上海卷9；根据函数奇偶性求参数值，如2011年浙江高考卷11等．解答此类问题时，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关系．2．对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题．充分利用题目提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的关键．3．高考中考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综合考查，如2012年福建卷7，所以需要对函数的各个性质非常熟悉并能结合函数图象的特点，对各个性质综合运用．预测：2013年仍将以函数的性质及应用为主，考查延续选择填空题形式，分值5分.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P35)1．奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于对称；原点y轴原点课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝且f(－x)＝，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．－f(x)f(x)－f(x)f(x)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．相同相反课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(3)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是．(4)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．奇函数偶函数奇函数课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)关于点(a,0)成中心对称．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）5．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)在一个最小存课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究2：如果T是函数y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z)是否一定也是该函数的周期？提示：当k＝0时，不是；k≠0时，是．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）1．(2012年陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）解析：y＝x＋1是非奇非偶函数，A错；y＝－x3是减函数，B错；y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C错；y＝x|x|为奇函数，当x≥0时y＝x2为增函数，由奇函数性质得y＝x|x|在R上为增函数，故选D.答案：D课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．(2012年广东)下列函数为偶函数的是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋1解析：选项A、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，选项D中函数定义域为R，设f(x)＝lnx2＋1，则f(－x)＝ln－x2＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故选D.答案：D课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．(2012年上海)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.解析：由g(x)＝f(x)＋2，得f(x)＝g(x)－2，∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－[g(1)－2]＝1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝3.答案：3课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）4．(2012年广东珠海)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________.解析：由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝13fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝13fx＋2＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝13f1＝132.答案：132课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）5．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）解析：由已知必有m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3，或m＝－1；当m＝3时，函数即f(x)＝x－1，而x∈[－6,6]，∴f(x)在x＝0处无意义，故舍去；当m＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.答案：－1课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________．解析：画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)0的x的取值范围：(－1,0)∪(1，＋∞)答案：(－1,0)∪(1，＋∞)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P35)判断函数奇偶性的一般步骤(1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)若定义域关于原点对称，再判定f(－x)与f(x)之间的关系①若f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则f(x)为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）讨论下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝lgx2＋lg1x2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【思路启迪】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【解】(1)定义域要求1－x1＋x≥0且x≠－1，∴－1x≤1，∴f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)f(x)＝0(x≠0)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)x0时，－x0，∴f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)x0时，－x0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(4)∵4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数定义域关于原点对称．f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）本例(3)中关于分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝3－x2＋x2－3；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，a≠1)．解：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)f(x)＝0(x≠±3)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数；课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(3)∵f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）1.对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f12＝－1，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【解】(1)由f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，令x＝y＝0，得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝fx－x1－x2＝f(0)＝0，所以f(x)＝－f(