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理科数学参考答案与评分标准第1页（共4页） 2018~2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C C A B D C C A D 二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分． 13． 2 yx=± 14． 3145 15．() 0,1 16． 1 ,2 2æöç÷èø三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】(Ⅰ)由 +1 1 nn aapn+=+可得 12 1 aap+=+, 23 21 aap+=+, 34 31 aap+=+,所以 2 ap=, 3 =1 ap+, 4 2 ap=…………………………………………………………………………3分又 1 a , 2 a , 4 a 成等比数列,所以 2 214 aaa=,即 2 2 pp=,又 0 p¹,故 2 p=.………………………5分(Ⅱ)解法 1:当 2 n³时, +1 1 nn aapn+=+, 1 1 nn aapnp-+=-+,相减得 11 nn aap+--=,………6分所以{} 21 n a-是首项为1,公差为 p 的等差数列,{} 2n a 是首项为 p ,公差为 p 的等差数列,故()() 21 111211 22 n pp anppnpn-=+-=+-=-+-………………………………………………8分() 2 12 2 n p apnpnpn=+-==×……………………………………………………………………10分因此要使得数列{} n a 为等差数列,则10 2 p-=,得 2 p=即存在 2 p=,使得数列{} n a 为等差数列.……………………………………………………………12分解法 2:假设存在 p ,使得数列{} n a 为等差数列,则 213 2aaa=+,即211 pp=++,解得 2 p=,…9分公差 21 11 daap=-=-=,因此 n an=,………………………………………………………………10分此时验证 +1 +121 nn aannn=++=+,满足条件,即存在 2 p=,使得数列{} n a 为等差数列.……………………………………………………………12分18.【解析】(Ⅰ) 0gg,……………………………………………………………………………………1分说明理由可以是:①离群点A、B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线 0 l 的总偏差更大,回归效果更差,所以相关系数更小；③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小,回归效果更好,所以相关系数更大；④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线 0 l 更离散；或其他言之有理的理由均可.………………………………2分理科数学参考答案与评分标准第2页（共4页） l0 l A B 数学 0 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 物理 20 40 60 80 100 z y G N M x E D C B A F …………4分要点:直线 0 l 斜率须大于0且小于l 的斜率,具体位置稍有出入没关系,无需说明理由.(Ⅱ)令 125 x=,代入 0.500618.680.500612518.68 yx=+=´+,…………………………………6分得 62.57518.6881 y=+»…………………………………………………………………………7分所以,估计B 同学的物理分数大约为81分.……………………………………………………………8分(Ⅲ)由表中知C 同学的数学原始分为122,物理原始分为82,………………………………………9分数学标准分为 16 16 1 122110.511.5 0.63 18.3618.36 xx Z s--===»…………………………………………10分物理标准分为 16 16 2 82748 0.72 11.1811.18 yy Z s--===»……………………………………………11分 0.720.63,故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些.……………………………………………12分19.【解析】(Ⅰ)分别过点 , EF作 , BCAD的垂线,垂足为 , NM ,连结MN ．因为平面ADF^平面ABCD,且平面 ADFI平面ABCDAD=,所以FM^平面 ABCD,又MNÌ平面ABCD,所以FMMN^．…………………………………2分同理可证,EN^平面ABCD,所以 // FMEN ．过点B作BGAD^,垂足为G ．在Rt AGBD中, 60 BADÐ=°, 2 AB=,则 1 AG=．又 1 2 MD=,所以 1 2 GMBN==,又 // GMBN ,所以四边形BNMG 为平行四边形,则 // MNGB．……………………………………………………3分从而MNAD^,又FMADM=I,所以MN^平面 ADF ,故EF^平面ADF .………………5分(Ⅱ)以M 为原点,建立空间直角坐标系Mxyz-如图所示,由(Ⅰ)知 3 MNGB==,则 3(,0,0) 2 A , 3 (0,0,) 2 F , 3 (0,3,) 2 E , 3 (,3,0) 2 C-．…………6分所以 (0,3,0) FE=uuur, 33 (,0,) 22 AF=-uuur, 33 (,3,) 22 FC=--uuur．设平面AEF 的一个法向量为 (,,) xyz= m ,则 0 0 AF FEì×=ïí×=ïîuuuruuur m m ,即 33 0 22 30 xz yì-+=ïíï=î,解得 0 3 y zx=ìïí=ïî令 3 z=,则 1 x=, 0 y=,所以 (1,0,3)= m ．……………………………………………………8分设平面EFC 的一个法向量为 (,,) xyz= n ,则 0 0 FC FEì×=ïí×=ïîuuuruuur n n ,即 33 30 22 30 xyz yì-+-=ïíï=î,解得 0 3 y zx=ìïí=-ïî令 3 z=-,则 1 x=, 0 y=,所以 (1,0,3)=- n ．………………………………………………10分理科数学参考答案与评分标准第3页（共4页）从而 131 cos, ||||222×-===-´ mn mn mn ,故二面角 AEFC--的余弦值为 1 2-.………………12分20.【解析】(Ⅰ)当 1 0 x=时,() 0,1 A 或() 0,1 A-,…………………………………………………………1分由对称性,不妨令() 0,1 A ,此时直线l: 440 xy+-=,………………………………………………2分联立 22 440 44 xy xy+-=ìí+=î，消去x整理得 2 5830 yy-+=,解得 1 1 y=, 2 8 5 y=,故 83,55 Bæöç÷èø.…………4分所以 OABD的面积为 184 1 255´´=.………………………………………………………………………5分(Ⅱ)显然直线l的斜率不为0,设直线l: 4 xmy=+,………………………………………………6分联立 22 4 44 xmy xy=+ìí+=î,消去x整理得() 22 48120 mymy+++=………………………………………7分所以() 22 6441240 mmD=-´+,即 2 12 m, 12 2 8 4 m yy m+=-+, 12 2 12 4 yy m=+,…………8分设() ,0 Tt ,则 TATB kk+=()()()() 1221 12 1212 yxtyxt yy xtxtxtxt-+-+==----()()()() 1212 12 24 myytyy xtxt+-+--…9分要使直线TA,TB与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形,则 TATB kk+= 0,………………………10分即()() 1212 24 myytyy+-+()() 222 81 128 240 444 mt m mt mmm-=×+-×==+++,故 1 t=,故在x轴上存在定点() 1,0 T ,使得直线TA,TB与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.………12分21.【解析】(Ⅰ)()()()() 22 22 1444 1 212 axaa fx x xaxxa+-¢=-=++++,………………………………………1分①当 2 440 aa-³,即 1 a³时,() 0 fx¢,() fx 在() 0,+¥上递增；………………………………3分②当 2 440 aa-,即01 a时,由() 0 fx¢=,得 22 440 xaa+-=解得 2 1 2 xaa=--(舍去), 2 2 2 xaa=-,且() 0 fx¢Û 2 0 xx,() 0 fx¢ 2 xxÛ,所以() fx 在() 2 0,2 aa-上递减,在() 2 2, aa-+¥上递增.…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若() fx 存在两个极值点 12 , xx ,则01 a；且 22 12 2,2 xaaxaa=--=-分别是() fx 的极大值点和极小值点.……………………………6分由() fx 的定义域知 2 21 aa---,且 2 22 aaa--¹-,解得 1 2 a¹；又()()()() 12 1212 12 22 ln1ln1 22 xx fxfxxx axax+=+-++-++() 1212 1212 11 44() ln1 (2)(2) xxaxx xxxx axax++=+++-++将 12 0 xx+=, 2 12 44 xxaa=-代入,得()()()() 2 2 12 2 4 ln441 2 aa fxfxaa aa-+=-+--,令21 at-=,得()() 2 12 2 ln2 fxfxt t+=+-,由01 a且 1 2 a¹知, 11 t-且 0 t¹,记() 2 2 ln2 htt t=+-,理科数学参考答案与评分标准第4页（共4页）①当01 t时,() 1 2ln2 htt tæö=+-ç÷èø,() 2 1 20 t ht t-æö¢=ç÷èø,故() ht 在() 0,1 上递减,所以()() 10 hth=,即当0211 at-=,即 1 1 2 a时,()() 12 0 fxfx+；②当 10 t-时,() 1 2ln()2 htt tæö=-+-ç÷èø,() 2 1 20 t ht t-æö¢=ç÷èø,故() ht 是() 1,0-上递减,()() 140 hth-=-,即当 1210 at--=,即 1 0 2 a时,()() 12 0 fxfx+.综上所述,满足条件的a的取值范围是 1 ,1 2æöç÷èø.…………………………………………………………12分22.【解析】(Ⅰ) 2 a=时,曲线C 的普通方程为 2 2 1 4 x y+=.……………………………………………2分消参得直线l的普通方程为 20 xy+-=.………………………………………………………………4分(Ⅱ)设点() cos,sin Paqq,则P 到l的距离为() 2 1sin2 cossin2 22 a a dbqqq++-+-==(其中tan ab=),…………6分当 2 12 a+³即 3 a³时, 2 12 0 2 a d++££………………………………………………………7分当 2 12 a+即03 a时, 22 2112 22 aa d-+++££………………………………………8分因为 2 1212322 22 a+++=,所以当 3 a³时,始终满足条件.当 3 a时,则由 2 212 4 2 a-+£,解得 5 2 a³……………