周建方版材料力学习题解答[第五章]

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。题5-1图解：a)1)危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。b)1)危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。c)1)危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。d)1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。403050503030202040301010题5-2图解：a)1=50MPa,2=3=0,属于单向应力状态FdAT3T2TABdTABdFldATTFF（a）（b）（c）（d）A24dFA316dT364dFlA332dTA316dT24dFa)b)c)d)a)b)c)b)1=40MPa,2=0,3=－30MPa，属于二向应力状态c)1=20MPa,2=10MPa,3=－30MPa，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。3030°5030°2020404030°103030题5-3图解：a)取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：x=50MPa,y=30MPa,x=0,α=－30带入式（5-3），（5-4）得2sin2cos22xyxyx=45MPa2cos2sin2xyx=-8.66MPab)取水平轴为x轴，根据正负号规定：x=-40MPa,y=0,x=20MPa,α=120带入公式，得：240sin20240cos20402040=7.32MPax=240cos20240sin2040=7.32MPac)取水平轴为x轴，则x=-10MPa,y=40MPa,x=-30MPa,α=30代入公式得：60sin)30(60cos2401024010=28.48MPax=60cos3060sin24010=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1)指定斜截面上a)b)c)的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。60°40604010045°4060°20306060题5-4图a)解：（1）求指定斜截面的上应力取水平轴为x轴，则x=100MPa,y=40MPa,x=40MPa,α=45带入公式，得:90sin4090cos240100240100=30MPa=90cos4090sin240100=30MPa(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：22minmax22xyxyx=201204024010024010022MPa按代数值321得1201MPa，202MPa，03MPa由公式（5-7）可求得主应力方向33.140100402220yxxtg02=13.53，0=57.26最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针57.263）最大切应力由公式（5-20）6020120231maxMPab）解：（1）求指定斜截面上的应力取水平轴为x轴，x=60MPa,y=-20MPa,x=-30MPa,α=-30代入公式得:b)c)a))60sin(30)60cos(2)20(602)20(60=-14.02MPa=)60cos(30)60sin(2)20(60=-49.64MPa(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：22minmax22xyxyx3070)30(2)20(602)20(6022MPa按代数值321得701MPa，02MPa，303MPa由公式（5-7）可求得主应力方向75.0)20(6030220yxxtg02=87.36，0=43.18最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针57.26如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）502)30(70231maxMPac)解:取水平轴为x轴，则x=60MPa,y=0,x=-40MPa,α=-150代入公式得：)300sin()40()300cos(20602060=79.64MPax=)300cos(40)300sin(24060=5.98Mpa(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：22minmax22xyxyx2080)40(2060206022MPa按代数值321得1201MPa，202MPa，03MPa由公式（5-7）可求得主应力方向34060402220yxxtg02=13.53，0=57.26最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针57.26如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）502)20(80231max5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。30°20104045°502030°302020题5-5图解：(1)求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知x=40MPa,y=20MPa,x=10MPa,y=-10MPa由此可确定-面内的D、D’两点，连接D、D’交于C。以C为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：Ex=60MPa，Ey=3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：Ax=max=44.14MPa，Bx=min=15.86Mpab)c)a)按照321得约定，可得三个主应力为：1=44.14MPa，2=15.86MPa，3=0MPa由D转向A的角度等于20。量得20=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。（3）最大切应力等于由13画出的应力圆的半径max=22.07MPab)解：首先做应力圆：其中D（0，-20）D'（50，+20）1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D'逆时针量20=90得E点：Ex==5MPa，Ey==25Mpa2)Ax=max=57MPa，Bx=min=-7Mpa按照321得1=57MPa，2=0MPa，3=-7MPa主应力方向：最大主应力与y轴夹角为33.1921'CAD（顺）3)最大切应力等于由31,画出的应力圆的半径：32maxMPa(c)解：由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和D'（30，-20）连DD'交轴于C,以C为圆心，DD'为直径作圆，即为应力圆，如图所示1）斜截面与x轴正方向夹角为60(顺),因此由D顺时针量120得E点Ex==34.82MPa，Ey==11.65MPa2）主应力及其方位应力圆与轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：Ax=max=37MPa，Bx=min=-27Mpa因此1=37MPa，2=0MPa，3=-27MPa由D'到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。3）最大切应力为由31,画出的应力圆半径32maxMPa5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。F=500KNABC50250500500200100题5-6图解：1）各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得250BAFFkNA,B,C三点所在截面上的弯矩6250025.0102503MNm剪力250QFkN22.01.06162500WMAPa=93.75MPa（压应力）875.4621ABMPa（压应力）75.182.01.010250233PaCMPa06.1443CBMPa2）作各单元体的应力圆A点：75.93,0,0321MPa，max=46.875MPaB点：9.31AxMPa，7.503BxMPa，02，max=27.3MPaC点：1Ax18.75MPa，2Bx0，3=-18.75MPa，max=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。505020502030401203030题5-7图b)c)a)解：a)主应力501MPa，由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有，231max=50MPa。b)一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示x=30MPa，y=-20MPa，x=20MPa代入公式（5-8）2737202)20(302)20(3022MPa所以1=50MPa，2=37MPa，3=-27MPamax=231=5.3822750MPab)一个主应力为-30MPa，其余两方向应力状态如图所示取x=120MPa，y=40MPa，x=-30MPa代入公式22minmax22xyxyx30130)30(24012024012022MPa所以1=130MPa，2=30MPa，3=-30MPamax=231=802)30(130MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。τσστ题5-8图解：a)三个主应力为0,321三向应力圆可作如下b)这是一个纯剪切应力状态321,0,其三向应力圆为max=τ三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得31,再由21,和32,分别作应力圆三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态2231225-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。50120°τ题5-9图解：画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则x=？,y=50MPa,x=？，α=30时=80MPa,=0代入式（5-3）（5-4）60sin60cos250250xxx=80Mpa60cos60sin250xx=0x=70MPa,x=310MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为1=80MPa，2=40MPa，3=0MPa最大切应力为max=40MPa5-10图5-35所示棱柱形