2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第20讲 数列求和

用公式法求和【例1】已知an是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列an的通项公式；(2)求数列2an＋n的前n项和Sn.【解析】(1)设数列an的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，解得d＝1，则an＝n＋1.(2)Sn＝22＋23＋…＋2n＋1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝41－2n1－2＋nn＋12＝4(2n－1)＋nn＋12＝2n＋2＋n2＋n2－4.本题主要是考查等差数列、等比数列的基本知识，简单的计算能力，对等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式不仅要牢记，还要保证计算的准确．【变式练习1】在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，并且an＋1an(n∈N*)．(1)求a2、a5以及数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝lga1＋lga2＋lga3＋…＋lgan，求当Tn最大时，n的值．3425255225251114116*18321623216.122132()122()nnnnaaaaaaaaaaaaaqaaqaqqaanN－－因为＝，所以由已知条件可得，并且，解得＝，＝，从而其首项和公比满足：故数列的通项公【式为＝＝解析】．6*22lglg2(6)lg2()lg5lg24lg23lg2(6)lg2[5432(6)]lg2[56]1·lg2(11)lg2.221lg2011.2256nnnnnnannaTnnnnnnnnTTnN－因为＝＝－，数列是等差数列，所以＝＋＋＋＋－＝＋＋＋＋＋－＝＝－由于，当且仅当－最大时，最大，所以，当最大时，＝或裂项相消法求和212231.1112()212nnnnnnanSSnanaaaaaa已知数列的前项和为，＝求证：数列为等差数列；求和：【例】．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.显然a1＝1满足an＝2n－1，所以an＋1－an＝2，所以数列{an}为等差数列．112231112321111()(2)22321111111111111()()()2132235223211.21nnnnaannnnnaaaaaannnn因为＝，所以＝－＋－＋＋＝本题主要考查(1)Sn与an的递推关系；(2)裂项求和法．【变式练习2】等比数列an的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列an的通项公式．(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12，故1bn＝－2nn＋1＝－2(1n－1n＋1)，1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.错位相减法求和【例3】求S＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋(n＋1)·xn的值．23231231111201121123(1)2011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)111123nnnnnnnnxSnnxSnxxSxxxnxxSxxxnxnxxSxxxxnxxnxxxSx＋＋＋当＝时，＝；当＝时，＝＋＋＋＋＋＝；当且时，因为＝＋＋＋＋＋＋，①所以＝＋＋＋＋＋＋②由①－②得－＝＋＋＋＋＋－＋＝－＋，所以＝【解析】－111nnxx通过观察，本题有如下特征：系数成等差数列、字母成等比数列，即它是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列，具备用错位相减法的条件；同时本题也有陷阱：并没有确定x是否为0或1，故容易贸然地用错位相减法求解，而需先分类讨论．在求解过程中还要注意，在等比数列求和时，项数也容易搞错．【变式练习3】设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{Tn}的通项公式．1122112122123123112222.(12(2)222222(1)2(2)2222.(2222)2122(2)1212nnnnnnnnnnnnnaqaTaTaaqaaTnnnTnnnTnnn－－－－＋设等比数列的公比为，＝＝，＝－＝，所【以＝＝，所以＝因为＝＋－＋－＋＋＋，①所以＝＋－＋－＋＋＋②由②－①得＝－＋＋＋＋＋＝解＝－析】－＋＋．分组分解法求和23.21()22().4nnnnnnnnnnnanSaanccncnT已知数列的前项和＝求数列的通项公式；是奇数若数列满足＝，是偶数求数列的前项和【例】2221**1124113323(1)3(1)221(2)21()1()(222)14142[246(1)]1412nnnnnnnnnnSnnnnaSSnnnaSannnnTaaannNN－－因为＝，所以＝－＝＝＋，．又＝＝适合上式，所以＝＋．当为奇数时，－为偶数，＝＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋】＋【解析1212413122111111422(1)22(21)223434(21).43()(222)414(24)1414242222(21)(21)22343nnnnnnnnnnnnnnTaaannnnnn－－－－－＝＋＋＋－＝－当为偶数时，＝＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋－＝－分组分解法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解为若干个能够求和的新数列的和或差，从而求得原数列和的一种求和方法．如本题将数列分成奇数项的和与偶数项的和，分别应用等差数列和等比数列的求和公式求解．【变式练习4】求值：Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1·n.(12)(34)[(1)]21(23)(45)[(1)]11122()21()2nnnnnSnnnSnnnnnnSn当为偶数时，＝－＋－＋＋－－＝－；当为奇数时，＝＋－＋＋－＋＋＋－－＋＝＋＝为偶数所以＝为奇数【解析】212221.21_______________nnnnanSaaa数列的前项和＝－，则1(41)3n－　111212221221212224.11444(41)3nnnnnnnnnnnnnSaSSaaaa－－－－－因为＝－，所以＝－＝－＝，所以＝所【以＋＋＋＋＝】－解析．12.110nnaannnn数列的通项公式为＝，若其前项的和为，则的值为________12012111(21)(32)(1)1110120.nnnannnnSaaannnn因为＝＝－，所以＝＋＋＋＝－＋－＋＋－＝－＝，所以＝【解析】3.1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝_______________2n＋1－n－221211222122112(222)21222.12nnnnnnnnaSnnn－＋因为＝＋＋＋＋＝＝－，所以＝＋【解析】＋＋－＝－＝－－4.求值：1002－992＋982－972＋…＋22－12＝___________5050222222(10099)(9897)(21)1009998972110010015050.2原式＝－＋－＋＋－＝＋＋＋＋＋＋＝＝【解析】1101030201015.22(21)0.12.nnnnnaanSSSSanSnT　设正项等比数列的首项＝，前项和为，且－＋＋＝求数列的通项公式；求的前项和10302020101010201020101010201012()2().002111.().22112211(1)122112.12212nnnnnnnnnSSSSqSSSSaSSqqaaaqnSnSn由已知得－＝－，即－＝－因为＞，所以－，所以＝，所以＝从而＝因为是首项＝，公比＝的等比数列，故＝＝，＝－【解析】2231211112(12)(),2221121(12)()2222221111(12)()22222211112214212112.222nnnnnnnnnnnnnnnSnnTnTnnnTnnnnnnnnT则数列的前项和＝＋＋＋－＝＋＋＋－前两式相减，得＝＋＋＋－＝－即＝＋＋－本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个(或几个)数列复合而成的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求．要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法，有时还会要求分类讨论．1．一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般用错位相减法求和．其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的(n－1)项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可．2．在求S＝x＋2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)·xn＋1这类问题时要注意：(1)对x分类讨论；(2)项数是多少．3．裂项相消法求和是先将通项(最后一项)分裂成两项(或多项)的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和．4．倒序相加求和法的依据是推导等差数列前n项和的方法，即与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(即a1＋an＝a2＋an－1＝…)，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．5{}()(21),,.()(2)nnnnnababfnnkankNgnnk．分组求和法：有一类数列，本身既不是等差数列，又不是等比数列，但若适当拆分，可以分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并．形如：①＋，其中是等差数列，是等比数列；②＝