第31讲平面向量的概念________||///1///.ABDCABCDababababbcacabbcac下列各命题中,真命题的个数为.①若=,则四边形是平行四边形;②若=,则=或=-;③若=,=,则=;④若,,则【例】【解析】①正确.②不正确,因为两向量相等必须大小相同且方向相同,模相等是向量相等的必要不充分条件.④不正确,当b=0时,a∥c不一定成立.③正确.答案:2向量的相关概念较多,且容易混淆,所以在学习中要分清,理解各概念的实质.注意向量相等应满足的两个条件:①模相等;②方向相同.还要注意零向量的特殊性,尤其是判定向量共线时不要忽略零向量.【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等;②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;③若非零向量a,b满足|a|=|b|,且a与b同向,则ab;④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|.④向量的线性表示2.DEABCABACMNDEBCBCBDDECEMN如图所示,、分别是的边、的中点,、分别是、的中点.已知=,=,试用、分别表示、和【例】abab1//2121.211221122111.424DEBCDEBCDECECBBDDEMNMDDBBNEDDBBC由三角形的中位知,故=,即=所以=++=-++=-+,=++=++=【解析】--+=-aabaababaab用已知向量来表示另外一些向量,是用向量解题的基本功,除综合利用向量的加、减法运算及数乘向量外,还需要充分利用平面几何中的一些定理.【变式练习2】设平面上的三个向量OA→、OB→、OC→(如图)满足:OA→与OB→的夹角为2π3,OC→与OB→的夹角为π6,|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),则λ+μ的值为6.【解析】在直角三角形中,因为|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,利用三角函数可将OC→进行分解,如图得到:OA′=OC·tan30°=2,OB′=OCcos30°=4,所以OC→=2OA→+4OB→,则λ=2,μ=4,所以λ+μ=6.向量共线12332823abOAOAOAABCkkk设,是两个不共线的非零向量.若=-,=+,=-,求证:、、三点共线;若+和+共线,求实数的例值.【】ababababab(3)(2()2(3)(3))2412ABBCABABBCABBCBABCabababababab证明:因为=+--=+,=--+=--=-,所以、共线.又、有公共【解析点,所以、、三】点共线.(2)因为8a+kb和ka+2b共线,所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.因为a与b不共线,所以,解得λ=±2,所以k=2λ=±4.本题从正反两方面考查了向量共线的充要条件,即b与非零向量a共线,则必存在唯一实数λ,使b=λa;若b=λa(λ∈R),则b与a共线.三点共线问题可利用向量共线的充要条件来解决.3.1()3tabtt若,是两个不共线的非零向量,若与起点相【变式练同,为何值时,,,+三向量的终点在一上?习直】线abRabab1[()]32332313213211()23tttttt设-=-+,得-=-,因为,不共线,所以,所以,故=【解析】时,,,+三向量终点在同一直线上.abaabababababab1.已知e1,e2是一对不共线的非零向量,若a=e1+λe2,b=-2λe1-e2,且a,b共线,则λ=_______。22222.12mmmmm因为,共线,所以=,得--=+,【解故,解得】=析1212abbaeeee2.2453ABCDABBCCDABCD在四边形中,=+,=--,=--,其中、不共线,则四边形是__________abababab0()(2453)2(4)2.|||2|||ABBCCDDADAABBCCDBCDABCBCABCD因为+++=,所以=-++=-+----=---=-又=,所以四边形是梯【解析】形.abababab梯形3..ABCDACBDOEODAECDFACBDAF在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点若=,=,则等于_______________ab21+33ab12.23121().333DFFCAFACCFCD利用平面几何知识得出∶=∶所以=+=+=+-=【】+解析aabaab4.在△ABO中,已知P为线段AB上的一点,且|AP→|=3|PB→|,试用OA→,OB→表示出OP→为OP→=14OA→+34OB→.【解析】OP→=OA→+AP→=OA→+34AB→=OA→+34(OB→-OA→)=14OA→+34OB→.5.283()12ABBCCDkkkkABD设,是两个不共线的非零向量,如果=+,=+,=-.试确定实数的值,使的取值满足向量+与向量+共线;证明:、、三点共线.121212121212eeeeeeeeeeee【解析】(1)若向量ke1+e2与向量e1+ke2共线,则存在实数λ,使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立,即ke1+e2=λe1+λke2,则,解得k=±1.283()555//.2BDBCCDABBDABBDBDBDABBABD证明:因为=+=++-=+,又因为=+,所以=,所以又,有公共点,所以、、三点共线.12121212eeeeeeee本节内容主要从四个方面考查,一是考查向量的有关概念;二是向量加法、减法及数乘,平面向量基本定理的应用;三是共线向量与三点共线问题.在这些方面注意使用数形结合思想解决问题.常用定理与公式:11ABCOAOBOCO三点共线定理:平面上三点、、共线的充要条件是:存在实数、,使=+,其中+=,为平面内的任意一点.121121.1()(2200)nnnOABMABOMOAOBABCGABBCCAGAGBGCaaaOOAAAAA①平面内有任意三个点、、若是线段的中点,则=+;②中,为重心,则++=;++=;③有限个向量,,,相加,可以从点出发,逐一作向量=,=,,=12aa1121()nnnnOAOAAAAAOA-则向量即这些向量的和,即+++=+++=向量加法的多边形法则.n12naaaa当An和O重合时(即上述折线OA1A2…An成封闭折线时),则和向量为零向量.注意:反用以上向量的和式,即把一个向量表示为若干个向量和的形式,是解决向量问题的重要手段.