2010年10月自考线性代数(经管类)试题及答案详解

第1页共8页全国2010年10月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，TA表示矩阵A的转置矩阵，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，||A表示方阵A的行列式，()rA表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为3阶矩阵，||1A=，则|2|TA-=（）A．8-B．2-C．2D．8解答：参考教材P45。因为3n=，所以33|2|(2)||(2)||818TTAAA-=-=-=-×=-。选A。2.设矩阵11A⎛⎞=⎜⎟-⎝⎠，()1,1B=，则AB=（）A．0B．(1,-1)C．11⎛⎞⎜⎟-⎝⎠D．1111⎛⎞⎜⎟--⎝⎠解答：参考P39定义2.2.4。()1111,1111AB⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟---⎝⎠⎝⎠。选D。此题也可以从维数上判断，因为两矩阵相乘所得的新矩阵的行数为第一个矩阵的行数、列数为第二个矩阵的列数，即211222ABC×××⋅=。3.设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列几种中为反对称矩阵的是（）A．ABBA-B．ABBA+C．ABD．BA解答：参考P43转置运算律、P36数乘运算律、P44定义2.2.6。由题意得，TAA=、TBB=-。A选项中()()()()TTTTTTTABBAABBABAABBAABABBA-=-=-=---=-，为对称矩阵。B选项中()()()()()TTTTTTTABBAABBABAABBAABABBA+=+=+=-+-=-+，为反对称矩阵。C和D选项中()TTTABBABA==-，()()TTTBAABABAB==-=-，既不是对称矩阵也不是反对称矩阵。选B。4.设矩阵A的伴随矩阵*1234A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1A-=（）A．431212-⎛⎞-⎜⎟-⎝⎠B．121342-⎛⎞-⎜⎟-⎝⎠C．121342⎛⎞-⎜⎟⎝⎠D．421312⎛⎞-⎜⎟⎝⎠第2页共8页解答：参考P52例3结论、P50求逆矩阵公式。因为*1||||nAA-=，A为2阶矩阵，所以*||||2AA==-，从而1*121134||2AAA-⎛⎞==-⎜⎟⎝⎠。选C。5.下列矩阵中不是初等矩阵．．．．．．的是（）A．101010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠B．001010100⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠C．100030001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠D．100010201⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠解答：参考P63定义2.5.3。B选项中相当于将第1行（列）和第3行（列）交换；C选项中相当于用常数2乘以第2行（列）；D选项中相当于将第1行（第3列）的2倍加到第3行（第1列）。选A。6.设A、B均为n阶可逆矩阵，则必有（）A．AB+可逆B．AB可逆C．AB-可逆D．ABBA+可逆解答：参考P50可逆矩阵的基本性质（2）。选B。7.设向量组1(1,2)a=、2(0,2)a=、(4,2)b=，则（）A．1a、2a、b线性无关B．b不能由1a、2a线性表示C．b可由1a、2a线性表示，且表示法唯一D．b可由1a、2a线性表示，但表示法不唯一解答：参考P84线性组合的矩阵表示法、P85例5、例6。设线性方程组为1122TTTxxaab+=，用矩阵的初等行变换化简方程组的系数矩阵：121010(,)2202TTAaa⎛⎞⎛⎞==→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，可得()2rA=⇒线性方程组有惟一解，从而表明b可由1a、2a线性表示，且表示法唯一。选C。8.设A为3阶对称矩阵，A的全部特征值为0、1、1，则齐次线性方程组()0EAx-=的基础解系所含解向量的个数为（）A．0B．1C．2D．3解答：参考P143综合结论。()0EAx-=是对应于特征值1l=的，由于1l=是二重特征值，所以齐次线性方程组()0EAx-=的基础解系向量个数为2个。选C。9.设齐次线性方程组1231231232000xxxxxxxxxl-+=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩有非零解，则l为（）A．1-B．0C．1D．2解答：参考P79定理2.7.1推论、P17行列式的计算方法。因为齐次线性方程组1231231232000xxxxxxxxxl-+=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩有非零解，设其系数矩阵为A，则第3页共8页211111111101||1112110130232(1)01111011001Allllll------=--=-==-=-+=+++，从而1l=-。选A。10.设二次型()TfxxAx=正定，则下列结论中正确的是（）A．对任意n维列向量x，TxAx都大于零B．f的标准形的系数都大于或等于零C．A的特征值都大于零D．A的所有子式都大于零解答：参考P172实二次型的分类、P175定理6.2.5、P176定理6.2.6。A选项中应为“对任意非零．．n维列向量”；B选项中应去掉“等于零”；D选项中应为“所有顺序主．．．子式”。选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式0112的值为___________.解答：1-。参考P3二阶行列式的计算。010211112=×-×=-。12.已知1223A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则||A中第一行第二列元素的代数余子式为___________.解答：2-。参考P7代数余子式定义。||A中第一行第二列元素的代数余子式为12(1)22+-⋅=-。13.设矩阵1324A-⎛⎞=⎜⎟-⎝⎠，1101P⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则3AP=___________.解答：1022⎛⎞⎜⎟--⎝⎠。参考P63定义2.5.3、P65定理2.5.1。右乘1101P⎛⎞=⎜⎟⎝⎠相当于将A的第1列加到第2列上，右乘P三次则相当于重复了三次同样的操作，从而313131024(2)322AP-+×⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟-+-×--⎝⎠⎝⎠。14.设A、B均为3阶矩阵，且||2A=，2BE=-，则1||AB-=___________.解答：4-。参考P45方阵行列式的性质、P4811||||AA--=。111311|||||||||||2|(2)||422ABABABEE---===⋅-=⋅-=-gg。15.已知向量组1(1,2,3)a=、2(3,1,2)a=-、3(2,3,)ka=线性相关，则数k=___________.第4页共8页解答：5。参考P90例9、P79定理2.7.1。构造矩阵123(,,)TTTAaaa=，利用矩阵的初等行变换将0Ax=的系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵。13213213221307107132076005Akkk××⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=-───→--───→--⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟---⎝⎠⎝⎠⎝⎠②-①2③-①3③-②因为0Ax=有非零解，所以()3rA，即505kk-=⇒=。16.已知Axb=为4元线性方程组，()3rA=，1a、2a、3a为该方程组的3个解，且11234a⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，133579aa⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则该线性方程组的通解是___________.解答：1112()1314kk-⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠⎝⎠为任意实数。本题答案不唯一。参考P112定理4.1.1、P119性质1和定理4.2.3。原方程组Axb=的导出组的基础解系有()431nrA-=-=个解向量，且根据P119性质1可知该解向量为131131131121252231(())373341494451xaaaaaa⎛⎞-⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=-=-+-=--=-=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠。从而原方程组Axb=的通解为1112()1314kk-⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠⎝⎠为任意实数。17.已知P是3阶正交阵，向量132a⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，102b⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则内积(,)PPab=___________.解答：5。参考P151正交矩阵的基本性质（5）、P146定义5.3.1。(,)(,)1130225PPabab==×+×+×=18.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为___________.解答：6。参考P133定理5.1.3。所求特征值为326×=。第5页共8页19.与矩阵1203A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠相似的对角矩阵为___________.解答：1003⎛⎞⎜⎟⎝⎠或3001⎛⎞⎜⎟⎝⎠。参考P138定理5.2.1推论、P3二阶行列式的计算。设l为A的特征值，由12||(1)(3)003EAlllll---==--=-可得131,3ll==。由P138定理5.2.1推论可知与矩阵1203A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠相似的对角矩阵为1003⎛⎞⎜⎟⎝⎠或3001⎛⎞⎜⎟⎝⎠。20.设122Ak-⎛⎞=⎜⎟-⎝⎠，若二次型()TfxxAx=正定，则实数k的取值范围是___________.解答：4k。参考P176定理6.2.6及例5、P3二阶行列式的计算。2121(2)(2)4042Dkkkk-==⋅--⋅-=-⇒-三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式0120101221010210D=的值.解答：参考P7定义1.1.1。1215323201201121021012(1)1201(1)2211210101002002101212(1)12(1)2(1122)22(1122)92121D++++=-⋅⋅+-⋅⋅--⋅⋅+⋅-⋅=⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅=按第一行展开均按第三行展开22.设矩阵010100001A-⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，120210000B--⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求满足矩阵方程2XABE-=的矩阵X.解答：参考P35定义2.2.2、P36定义2.2.3、P50求逆矩阵公式、P39定义2.2.4。由2XABE-=得1(2)XEBA-=+又1010100001A-⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟⎝⎠2001201202020210210002000002EB---⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+=+-=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠第6页共8页从而1120010210(2)210100120002001002XEBA--⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=-=-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠23.若向量组1111a⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2113a⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟⎝⎠，326ka⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟-⎝⎠，4202ka-⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟-⎝⎠的秩为2，求k的值.解答：参考P102例8。设123411221122(,,,)1160024213202222Akkkkaaaa--⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==-→-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-----+⎝⎠⎝⎠因为向量组的秩为2，所以42222kk-=--⎧⎨=-+⎩即2k=。24.设矩阵223110121A⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠，210b⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（1）求1A-;（2）求解线性方程组Axb=，并将b用A的列向量组线性表出.解答：（1）参考P67利用初等行变换求逆矩阵的方法。3++223100110010110010(,)110010223100043120121001121001011011110010110010011011011011043120001164AE×↔↔×--⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=-───→───→-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟--⎝⎠⎝⎠⎝⎠--⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟───→────→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟----⎝⎠⎝⎠②-2①①②③+①②③③-4②②③①100143010153001164×--⎛⎞⎜⎟───→--⎜⎟⎜⎟-⎝⎠②③(-1)从而1143153164A---⎛⎞⎜⎟=--⎜⎟⎜⎟-⎝⎠.（2）参考P68利用初等行变换求解矩阵方程的第一种情形。线性方程组的解为114322153131640