极限和连续ppt.

数学基础教程孙平制作极限与连续微积分初步孙平制作教学目的：⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件。⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。01sinlim0xxx微积分初步孙平制作教学重点：1、函数极限（特别是“”、“”型）2、两个重要极限的计算；3、无穷大、无穷小的概念、性质和关系。教学难点：点连续及间断点的判断。00微积分初步孙平制作一、主要内容归纳：（一）函数极限1、数列极限按一定规律排列的一串数称为数列，记为。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，即（n=1,2,3……）nxxx，21,}{nx)(nfxn微积分初步孙平制作讨论n无限增大时的变化趋势：nx微积分初步孙平制作数列极限定义：一数列，若当n无限增大时，无限趋近某个固定常数A，则称当n趋于无穷时，数列以A为极限。记为}{nxnx}{nxAxnnlim微积分初步孙平制作2、函数极限定义：函数，若当趋近于○时，函数趋近一个确定的常数A，则称当趋于○时，函数以A为极限。记为注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可；2、极限过程x→○是指x→x0,x→x0－,x→x0＋,x→∞,x→＋∞,x→－∞中的一种。)(xfyx)(xfAxfox)(limx)(xfy微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作3、极限存在的充要条件微积分初步孙平制作例、设函数求x=0点的左右极限，并判断在x=0点是否存在极限010)(xxxxf0lim)(lim00xxfxx11lim)(lim00xxxf因为在x=0处左右极限不相等，所以在x=0处极限不存在解：微积分初步孙平制作4、无穷小量与无穷大量以零我极限的变量称为无穷小量；绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系是：)(10lim0)(0)(0limxfxxxfxfxx微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作无穷小量的重要性质：无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量如当时，是无穷小量xxxsin12微积分初步孙平制作5、极限的四则运算对某一极限过程x→○，若limu＝A，limv＝B，则有：1、lim(u±v)＝limu±limv＝A±B；2、lim(u·v)＝limu·limv＝AB若v＝c(c是常量)，有lim(cu)＝climu＝cA；3、推论：①、limun＝(limu)n＝An（n为自然数）②、lim（n为自然数）③、limC＝C（C是常数））。，（0limlimlimBBAvuvunnnAuulim微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作两个重要极限推广形式”型）属“（）（）（）001sinlim0(”型）属“（）（）（）1)11(lim(ee（）（）（）10)1(lim或微积分初步孙平制作注：这里教材中相应公式原来x的位置，统统被“（）”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作（二）连续与间断1、点连续)()(0lim0xfxfxx在点连续的这一定义中，以下三个条件要同时满足：⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义；⑵、f(x)在点x0有极限；⑶、f(x)在点x0的极限值等于函数值。微积分初步孙平制作微积分初步孙平制作2、间断点函数的不连续点称为间断点11)(2xxxxf00013)(2xxxxxf0001sin)(xxxxf例：求下列函数的间断点1、2、3、微积分初步孙平制作解：1、x=1（无定义）2、x=0（极限不存在）3、x=0（极限值不等于函数值）微积分初步孙平制作3、利用连续性求极限0lim0xxxx)()()(limlim000xfxfxfxxxx由可知连续函数极限符号与函数符号可以交换1ln)1(limln)1(lnlim)1ln(1lim10100exxxxxxxxx如微积分初步孙平制作（三）极限的计算方法：l极限的四则运算法则；l两个重要极限；l函数的连续性。具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。微积分初步孙平制作例求下列极限15510)13()21()13(limxxxx1、解：当时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则x551551032)13()21()13(limxxxx微积分初步孙平制作xxx2sin11lim02、解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化0x微积分初步孙平制作1245lim224xxxxx3、、解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则733414)3()1(lim)4)(3()4)(1(lim1245lim44224xxxxxxxxxxxxx微积分初步孙平制作xxxx)11(lim4、解：先进行恒等变形，在利用第2个重要极限21)11()11(lim)1111(lim)11(limeeexxxxxxxxxxxxx微积分初步孙平制作xxxtanlim05、解：利用第一个重要极限111cos1sinlimtanlim00xxxxxxx微积分初步孙平制作对照练习1、求下列极限1082)13()12()1(limxxxxxxxx123lim1xxxxxxx62lim232321)21(limxxx1、2、3、4、微积分初步孙平制作对照练习1、答案91)32(81、472、、533、4、e2微积分初步孙平制作