1.2 正、余弦定理应用举例

1.2正、余弦定理应用举例中国人民大学附属中学实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明实际问题应用模型问题1.怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。设CC’为测量仪器的高，过点C’的水平面与AB相交于点B’，这时由测点C’，可测得点A的仰角α的大小。在△AB’C’中，三条边的长度都无法测出，因而AB’无法求得。如果移动测量仪CC’到DD’（测量仪高度不变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？事实上，如图所示，在点B’，C’，D’构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得B’C’的长。这样，我们就可以根据正弦定理求出边B’C’的长，从而求出AB’的长。使得问题得到解决。某校用自制的仪器，测得α=20°，β=99°，γ=45°，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米）解：在△B’C’D’中，由正弦定理得，因此''sin''sin(180)CDBC60sin4572.17sin36在△AB’C’中，AB’=B’C’tanα=72.17×tan20°≈26.3m，因此，AB=AB’+BB’=26.3+1.5=27.8(m).答：故宫角楼的高约为27.8m.aDCBA问题2怎样测量地面上两个不能到达的地方间的距离？设A、B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？分析：如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，与问题1类似，如果只选择一个测点C，那么在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。aDCBA因此需要再选择一个测点D。构造一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决△ACD和△BCD。解：如图在海边适当选取两个测点C，D，使A，B，C，D在一个平面内，测得CD=a，∠ACB=α，∠ADC=β，∠BCD=θ，∠BDC=δ，aDCBA在△BCD中，由正弦定理，得sinsin(180)BCa即sinsin()aBC在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由正弦定理，得sinsin(180)aACsinsin()a在△ABC中，由余弦定理，得AB2=BC2+AC2－2BC·ACcosα，把BC、AC代入上式即可求出AB。aDCBA问题3.如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA、OB都是细杆，只受沿杆方向的力。试求杆OA、OB所受的力。分析：点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为F），O到A方向的拉力（记为F1），从B到O方向的支持力（记为F2），这三个力是平衡的。即F+F1+F2=0，解：如图作，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，作□OCED，则，，2OCFOEF1ODCEF由题设条件可知，||10,50,70OEOCEOEC在△OCE中，由正弦定理得1||||sin50sin60FF2||||sin50sin70FF因此，110sin60||11.3sin50F210sin70||12.3sin50F答：灯杆AO所受的拉力为11.3N，灯杆OB所受的压力为12.3N。问题4.如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的南偏东30°方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意，得AQ=120km，AP=300km，PQ=20x，∠P=60°－45°=15°，∠A=180°－15°－∠Q=165°－∠Q，由正弦定理，得方程组300120sinsin1520120sinsin15QxA由①得300sin15sin0.6470120Q所以∠Q≈40.3°(不合题意舍去)，∠Q=139.7°因此∠A≈180°－15°－139.7°=25.3°，代入②得120sin25.320198.1sin15x所以198.19.9()20xh答：大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭。60DCBA例5.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC=at，3∠B=90°+30°=120°，由sinsinBCACCABB60DCBA得sinsinBCBCABAC3sin12012233atat因为0°∠CAB90°，所以∠CAB=30°.故∠DAC=60°－30°=30°，答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇。PaDCBA例6.如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s，（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。PaDCBA解：（1）依题意知PA－PB=1.5×8=12(km)，PC－PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x－12)(km)，PC=(18+x)(km)，在△PAB中，AB=20，222cos2PAABPBPABPAAB22220(12)3322205xxxxx同理在△PAC中72cos3xPACx由于cos∠PAB=cos∠PAC，即3327253xxxx解得1327x(km)。（2）作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB132332332717.7155xxxPaDCBA