与球有关的切接问题

(常考常新型考点——多角探明)与球有关的切、接问题第二节空间几何体的表面积与体积1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式V＝43πR3[必备知识](1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33a，则有R＋r＝23a，R2－r2＝|CE|2＝a23，解得如果还原到正方体中去考虑呢？arR126,a46ACDB(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝注意：球心均在正方体的中心位置2aa22a23(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝a2＋b2＋c24＝l24(l为长方体的体对角线长)．23aR2lR即[多角探明]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正(长)方体的外接球；(4)四（三）棱锥的外接球.角度一：正四面体的内切球1．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.63π例【变式训练】已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到平面ABC的距离为.333思考：可以将该几何体还原到什么几何体中考虑？POCBAEF解析角度二：直三棱柱的外接球思考2：球心在哪里？总结：直三棱柱外接球球心在上下三角形外心连线的中点思考1：可不可以将该直三棱柱还原到特殊的几何体中？解析变式训练:51．正三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在球面上，且底面边长和高为2，则球的表面积为328解析角度三：正方体(长方体)的外接球思考：可以还原到什么几何体中考虑？解析：如图所示，BE过球心O，∴DE＝42－32－32＝2，∴VE­ABCD＝13×3×3×2＝23.答案：23角度四：四（三）棱锥的外接球例4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝2.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(2)2＋(4－R)2，解得R＝94，∴该球的表面积为4πR2＝4π×942＝81π4，故选A.答案：A1.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O-ABCD的体积为变式训练:38方法归纳“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．（3）还原处理如果直接考虑不出来不妨考虑能否把几何体还原到特殊的几何体中，比如正方体、长方体等等练习1.在正三棱锥S­ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S­ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π解析解析：如图，由正三棱锥的性质易知SB⊥AC，结合AM⊥SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA⊥SC，所以正三棱锥S­ABC为正方体的一个角，所以正三棱锥S­ABC的外接球即为正方体的外接球．由AB＝22，得SA＝SB＝SC＝2，所以正方体的体对角线为23，所以所求外接球的半径R＝3，所求表面积为4πR2＝12π.答案：B练习2.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()A.8πB.12πC.16πD.32π