极坐标系与简单曲线的极坐标方程

坐标系与参数方程【知识要点】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：_______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的_______________，简称伸缩变换．坐标伸缩变化(0)(0)xxyuyu极坐标系与简单曲线的极坐标方程2．极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对____________称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的_________，θ称为点M的_________．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．（ρ，θ）极径极角3．坐标之间的互化(1)点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：______________，_____________________．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ2π.cossinxy222tan0xyyx4．直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图形过极点倾斜角为αθ＝_____(ρ∈R)或θ＝_____(ρ∈R)(θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0))过点(a，0)，与极轴垂直________＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行______＝a(0θπ)απ+αρcosθρsinθ(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：__________________________________．00sinsin5．半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：圆心极坐标方程图形(0，0)ρ＝_______(0≤θ2π)(r，0)ρ＝________r，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)(r，π)ρ＝－2rcosθπ2≤θ3π2r，3π2ρ＝－2rsinθ(π≤θ2π)22r2rcosθ(2)一般位置圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.例1在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换x′＝3x，y′＝y后变为曲线C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，动点M的极坐标(ρ，θ)满足方程ρsinθ＋π4＝3，设点P为曲线C上一动点，则|PM|的最小值是____．2例2(1)已知曲线C与曲线ρ＝53cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线C的方程为______________．ρ＝10cosθ－π6(2)圆ρ＝a(a0)上有两个动点P，Q同时自圆上定点A(a，0)出发，按逆时针方向作匀角速运动，点P的角速度为ω，点Q的角速度为2ω，则线段PQ中点M的轨迹的极坐标方程为____________．ρ＝acosθ3例3在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．例4(2014天津)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为____．3例5.（15年广东）已知直线l的极坐标方程为24sin(2）π，点A的极坐标为722,4A,则点A到直线l的距离为1.点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．如果限定ρ0，0≤θ2π或－πθ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．2．极坐标和直角坐标的互化公式是x＝ρcosθy＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx（x≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性3．极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单．(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝．(4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝π2的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点为P′ρ，π2－θ.4．极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）.【知识要点】1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，即________________，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．()()xftygt2．参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：_____________，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t）y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．消去参数3．直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosθy＝y0＋tsinθ(t为参数)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)双曲线x2a2－y2b2＝1x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)抛物线y2＝2px(p0)x＝2pt2y＝2pt(t为参数)例1已知两曲线的参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．例2将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．例3已知曲线C1：x＝－4＋costy＝3＋sint(t为参数)和曲线C2：x＝8cosθy＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线l：x＝3＋2ty＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．例4过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求PM·PN的最小值及相应α的值．1．选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；(2)若M0为线段M1M2的中点，则有t1＋t2＝0；(3)若线段M1M2的中点为M，则M0M＝tM＝t1＋t22.一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP＝t1＋λt21＋λ.4．直线的参数方程的一般式x＝x0＋aty＝y0＋bt(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程．当且仅当a2＋b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程x＝x0＋aty＝y0＋bt化为标准方程是x＝x0±|a|a2＋b2t′y＝y0＋|b|a2＋b2t′(t′∈R)，式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．1．(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22D2．(2014福建)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则PF＝____．43．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosαy＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.