数学选修4-4参数方程

第二讲参数方程数学人教A版·选修4-4数学第二讲参数方程数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习学案2圆锥曲线的参数方程数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习课前预习数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习——课标学习目标——了解圆锥曲线的参数方程，分析圆锥曲线的几何性质选择适当的参数写出它们的参数方程．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习——基础梳理——1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为x－h2a2＋y－k2b2＝1，则其参数方程为__________．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是__________．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习3．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为__________，t∈__________.(2)参数t的几何意义是__________．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习[答案]1．(1)x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)[0,2π)(2)x＝h＋acosφy＝k＋bsinφ(φ为参数)2．(1)x＝asecφy＝btanφ(φ为参数)[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习(2)x＝btanφy＝asecφ(φ为参数)3．(1)x＝2pt2y＝2pt(t为参数)(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习自主演练数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则()A．m＜1B．－1＜m＜1C．m＞1D．0＜m＜1数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习[解析]方程化为x2＋y21m＝1，若要表示焦点在y轴上的椭圆，需要1m＞1，解得0＜m＜1.故应选D.[答案]D数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习2．已知90°＜θ＜180°，方程x2＋y2cosθ＝1表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]当90°＜θ＜180°时，－1＜cosθ＜0，方程x2＋y2cosθ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C.[答案]C数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习3．直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)的圆心位于第几象限()A．一B．二C．三D．四数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习[解析]直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，而圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限．[答案]B数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习4．椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为()A．πB.π2C．2πD.32π数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习[解析]由已知acosθ＝－a，∴cosθ＝－1，又θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.[答案]A数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习5．二次曲线x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ是参数)的左焦点的坐标为__________．[解析]原方程消去参数θ，得普通方程为x225＋y29＝1.它是焦点在x轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．[答案](－4,0)数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习6．圆锥曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ是参数)的渐近线方程是________________，实轴长是__________．[解析]原方程可化为x4＝secθ，y3＝tanθ，因为sec2θ－tan2θ＝1，所以x216－y29＝1.它是焦点在x轴上的双曲线，数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习∴a2＝16.∴双曲线的渐近线为y＝±34x，且实轴长为8.[答案]y＝±34x8数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习课内讲练数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习——题型探究——题型一椭圆的参数方程及应用【例1】已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【分析】△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得x＝6＋0＋6cosθ3y＝0＋3＋3sinθ3，即x＝2＋2cosθy＝1＋sinθ，消去参数θ得到x－224＋(y－1)2＝1.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习变式训练在椭圆x225＋y216＝1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？[解析]椭圆的参数方程为x＝5cost，y＝4sint(t为参数)，设第一象限内椭圆上任一点M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S＝4xy＝4×5cost×4sint＝40sin2t.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习当t＝π4时，面积S取得最大值40，此时，x＝5cosπ4＝522，y＝4sinπ4＝22，因此，矩形在第一象限的顶点为522，22，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习题型二双曲线的参数方程及应用【例2】求点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．【分析】化双曲线方程为参数方程，对MM0建立三角函数求最值．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【解析】把双曲线方程化为参数方程x＝secθ，y＝tanθ.设双曲线上动点M(secθ，tanθ)，则M0M2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3，当tanθ－1＝0即θ＝π4时，M0M2取最小值3，此时有M0M＝3，即M0点到双曲线的最小距离为3.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程．数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习变式训练设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：F1P·F2P＝OP2.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习[解析]如图所示，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ，得(F1P·F2P)2＝[(secθ＋2)2＋tan2θ]·[(secθ－2)2＋tan2θ]数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习＝(sec2θ＋22secθ＋2＋tan2θ)·(sec2θ－22secθ＋2＋tan2θ)＝(2sec2θ＋1)2－(22secθ)2＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2，又OP2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得F1P·F2P＝OP2.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习题型三抛物线的参数方程及应用【例3】如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习【分析】利用抛物线的参数方程，将△AOB面积用其参数表示，再利用均值不等式求最值．【解析】根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t2，且t1·t2≠0)，则OA＝2pt212＋2pt12＝2pt1t21＋1，OB＝2pt222＋2pt22＝2pt2t22＋1.数学第二讲学案2圆锥曲线的参数方程课时作业人教A版·选修4-4数学课内巩固课内讲练自主演练课前预习因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以t1·t2＝－1.△AOB的面积为S△AOB＝12OA·OB＝12·2pt1t21＋1·2pt2t22＋1＝2p2t1t2t21＋1t22＋1数学第二讲