选修4-4-第一讲-坐标系(简单曲线的极坐标方程)

简单曲线的极坐标方程)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,0复习1、极坐标系的四要素极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。2、点与其极坐标一一对应的条件3、极坐标与直角坐标的互化公式圆的极坐标方程xC(a,0)OAM(,)如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0),你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件?|OM|=|OA|cosθ，所以，=2acosθ.上述方程计算圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件;另一方面，坐标适合上式的点都在这个圆上。在求曲线方程时，关键是找出点满足的几何条件，并用坐标表示，再用代数变换进行化简。与求圆的直角坐标相比，求它的极坐标方程更简便。极坐标方程：一般地，在极坐标中，①如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)=0,②并且坐标适合f(,)=0的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。Ox0(R)(0,2)不符合方程极轴所在直线的极坐标方程是什么？问题：这个方程合理吗？曲线上的点的坐标都是方程的解极点(0,0)符合方程极坐标的不唯一性导致了上述情况.方程的解为坐标的点都在曲线上;xOM例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？设点M(,)为圆上任意一点，OM|＝r，即：ρ＝r.求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况类似①建系（适当的极坐标系）；②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）；③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）；④将等式坐标化；⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）。练习求下列圆的极坐标方程(１)圆心在极点，半径为2；＝2(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；＝2acos(３)圆心在(a,/2)，半径为a；＝2asin(４)圆心在Ｃ(0,0)，半径为r。2+02-20cos(-0)=r2解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,在△OCP中,CP=r,OC=ρ0,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ0),即r2=ρ02+ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0).也就是ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+(ρ02-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.53cos5sin已知一个圆的方程是＝求圆心坐思考：标和半径。2222253cos5sin53cos5sin535535()()2522535(,),522xyxyxy解：＝两边同乘以得＝－即化为直角坐标为　即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为＝所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点＝圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是练习4)2(22yx圆的圆心距是多少？的两个＝和＝、极坐标方程分别是sincos2练习方程是什么？化为直角坐标＝、曲线的极坐标方程sin41D为半径的圆。为圆心，以21)4,21(A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆)4cos(＝解：该方程可以化为41)42()42(22yx即sin22cos2224sinsin4coscos＝解：0222222yxyx转移法ONMC(4,0)化为直角坐标方程。－＝把极坐标方程练习cos2451648322yxx4cos2－解：方程可化为x＋＝即4222)4(4x＝两边平方得：16844222xxyx直线的极坐标方程极坐标系与极坐标极径点O极点射线Ox极轴角极角有序实数对(,)极坐标逆时针为正角顺时针为负角0终边上取M0终边反向延长线上取MOx(,)M(,)||在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为x=3y=3过原点的直线方程为y=kx如图，所求的射线上任一点的极角都是π/4OMx﹚4(0)44例1①求过极点,倾角为的射线的极坐标方程。故所求直线的极坐标方程为②求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。545(0)4③求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。4(0)45(0)4和而≥0，④可表示为()4R或5()4R和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R或5()4R的一条直线。表示极角为＝的一条射线。表示极角为)()0(R3、直线的极坐标方程例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）解：如图，建立极坐标系，设点(,)Mox﹚AM在中有RtMOAcosOMMOAOA即cosa可以验证，点A的坐标也满足上式。为直线L上除点A外的任意一点，连接OM交流做题心得归纳解题步骤：求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；(,)M3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。练习1求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM(,)M在中有RtMOA即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin＝aIOMIsin∠AMO=IOAI平行于极轴的直线。、求过点练习)4,2(1AOHMA)4,2((,)(2,)42sin24sin,sin2(2,)4sin2lMAMHRtOMHMHOMA解：在直线上任意取点在中，＝即所以，过点平行于极轴的直线方程为课堂练习2设点A的极坐标为，直线过点(,0)all解：如图，建立极坐标系，设点(,)M为直线上异于A点的任意一点，连接OM，l在中，由正弦定理得MOAsin()sin()a即sin()sina显然A点也满足上方程A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。化简得﹚oMxA﹚例3：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。11(,)lloxMP﹚﹚11A解：如图，设点(,)M的任意一点，连接OM，则,OMxOM1OP1xOP为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中MOP1,()OMPOPM由正弦定理得11sin[()]sin()11sin()sin()显然点P的坐标也是上式的解。即OMPOPOPMOMsinsin练习3求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线的方程。l2)6sin(直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴ox﹚AMMox﹚A﹚looxMP﹚﹚11A)(0Rcosasin＝a11sin()sin()11(,)例题解析例.化直角组表方程为极坐标方程.0xy解:cossinxy由,得cossin0,(cossin)0,0或者cossin0tan1,(Z)4kk表示极点，0(R).4故所求极坐标方程为表示直线,(Z)4kk过极点小结：（１）曲线的极坐标方程概念（２）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程