选修4-4-第二讲-参数方程(直线的参数方程)

第二讲参数方程直线的参数方程两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0()AxByCAB，不同时为零2121yyxx直线的普通方程都有哪些?tankeM0(x0，y0)M(x,y)(cossin)，00000()()()MMxyxyxxyy，，解：在直线上任取一点M(x，y)，则(cossin)ele设是直线的单位方向向量，则，00//MMetRMMte因为，所以存在实数，使，即00()(cossin)xxyyt，，00cossinxxtyyt所以，00cossinxxtyyt即，xOy)(sincos{00为参数ttyytxx所以，直线的参数方程为：已知一条直线经过点M(x0,y0)，倾斜角α，求这条直线的参数方程00tan()yyxx解：直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：00.sincosyyxxtt令该比例式的比值为，即00cos()sinxxttyyt整理，得到是参数事实上所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.|t|=|M0M|00||||MMteMMte解：，，||1ee又因为是单位向量，，0||||||||.MMtetM0MexOy0MMte由直线参数方程中的参数t有什么几何意义？当0απ时，sinα0，(cos,sin)e直线的单位方向向量总是向上的，因此有结论：0MM①t0：则的方向向上，即M0在M的上方；0MM②t0：则的方向向下，即M0在M的下方；③t=0：则点M与点M0重合．直线参数方程也可以表示为：btyyatxx00（t为参数）t有否上述几何性质？batan这里直线l的倾斜角α的正切00900(或时例外）122ba当且仅当且b0时.其中的t才具有上述几何意义。M(-1，2)ABxyO例1.已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积．方法一：用普通方程去解方法二：用参数方程去解；点M是否在直线上31cos4()32sin4xttyt为参数直线的参数方程为：代入抛物线得：2220tt1221021022tt解得，，由参数的几何意义得：12||||10ABtt，1212||||||||||2.MAMBtttt寻找规律：12121MMtt（）1222ttt（）sincos00tyytxx直线（t为参数）与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应的参数分别为t1,t2．（1）曲线的弦M1M2的长是多少？（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？001212121212cos1.(sin().||.||.||||.||||||xxttyytattABABAttBttCttDtt直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为B练习：若直线的参数方程为btyyatxx00（t为参数）|AB|为多少？1212121212cos2()sin()||||....2222xattybtBCttBCMttttttttABCD.在参数方程为参数所表示的曲线上有，两点，它们对应的参数值分别为、，则线段的中点对应的参数值是B1123.()352230(15)___________________.xttytxy一条直线的参数方程是为参数，另一条直线的方程是，则两直线的交点与点，间的距离是43sin2036()()cos20.20.70.110.160xttytABCD.直线为参数的倾斜角是4233或cos42cos7.()sin2sin()()53..664425..3366xtxtytyABCD直线为参数与圆为参数相切，则直线倾斜角为或或或或52248.()410xattxyxybt若直线为参数与曲线相切，则这条直线的倾斜角等于_______.622(3sin1)4(cos2sin)80t1224(cos2sin)3sin1tt221164xy例2、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆于A,B两点.如果点M恰好为线段AB的中点,求直线l的方程.解：设过点M(2,1)的直线l的参数方程为:2cos1sinxtyt（t为参数），代入椭圆方程，整理得因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，1202ttcos2sin01tan2k11(2)2yx240xy．点M为线段AB的中点，所以于是直线l的斜率因此，直线的方程是:ylXCB450250250PO222250yx解：以O为原点,OP为x轴建立坐标系,则P(300,0),圆的方程为当台风中心在圆O上或内部时台风将影响该岛．)0(135sin40135cos4030000ttytx)0(220220300ttytx．6.89.1t解得∴大约2小时以后，将受台风影响，并持续6.5小时.设台风中心所在射线l的参数方程为．tt222250)220()220300(由此可有例3当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?OyxP··如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？圆O的方程可改为x2+y2=(250+10t)2．ttt222)10250()220()220300(由此可有OCADB21xyP例4如图，AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|有两个根因此方程由于)3(,0sincos2222ba),1(1:2222byax系，如图建立平面直角坐标证明的参数为则直线的坐标为点设AByxP),,(,100)2)((sincos{00为参数ttyytxx并整理，得到代入将)1()2()3(0)()sincos(2)sincos(22202202020222222bayaxbtyaxbtab)4...(sincos22222220220221abbayaxbttPBPA，即得到－换为，将同理，对于直线CD)(sin)(cos222222202202abbayaxbPDPC)5(sincos222222202202abbayaxb|PA|·|PB|=|PC|·|PD|00cos()sinxxttyyt是参数|t|=|M0M|00()xxattyybt为参数小结1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义，简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.直线的参数方程形式是不是唯一的。122ba当且仅当且b0时.其中的t才具有上述几何意义。例1已知过点P(2,0)，斜率为4/3的直线和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标．例题选：一、求直线上点的坐标3cos54sin5解：设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为α,由已知可得：32545xtyt所以，直线的参数方程为(t为参数)2815500tt代入y2=2x，整理得1215216ttt中点M的相应参数是413(,)164所以点M的坐标是例2求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为:为参数）tyx(13321321∵A到直线l的距离d=，1351310∴t=AA'=代入直线的参数方程得A'(−33/13，4/13)二、求解中点问题例1已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1,P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。1222yx解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是00cos()sinxxttyyt是参数代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得002tanxy0000221yxxy2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。的切线方程及切点坐标）求过点（中点坐标；两点，求、交于）直线与圆（的直线且倾斜角的余弦是已知经过例ABCCByxA225153)3,5(222三、求定点到动点的距离例1直线l过点P(1，2)，其参数方程为直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。)(21为参数ttytx解：将l参数方程化为“标准形式”为参数）ttytx(222221代入2x+y−2=0223得t'=∴PQ=|t'|=223。例2经过点P(−1，2)，倾斜角为π/4的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值PA·PB=|t1·t2|=4为参数）ttytx(222221解：直线l的方程可写成2代入圆的方程整理得：t2+t−4=0设点A，B对应的参数分别是t1，t2，由t1与t2的符号相反2则t1+t2=t1·t2=−4，23所以PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|=1422yx例1求经过点（1，1）。倾斜角为1350的直线截椭圆所得的弦长解：由条件可知直线的参数方程是：代入椭圆方程:tytx221221(t为参数)1)221(4)221(22tt0123252tt21,tt设方程的两实根分别为525262121tttt5264)(2122121tttttt则直线截椭圆的弦长是:四、求直线与曲线相交弦的长2sin2p例2已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=)(sincos2为参数ttytpx设AB的方程为，代入抛物线方程得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：AB=|t1−t2|=2sin2p……455m6例3已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l的参数方程为当m为何值时,直线l被椭圆截得的弦长为tmytx2(t为参数)例4已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|12222byax解：设椭圆方程为tytcx2321直线AB的方程为代入椭圆得4143(b2+a2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2,则②①222421222221243414341tabtttabcbtt①2×2+②得：22243412abc将b2=a2−c2代入8c2=3a2+a2−c232e9422