第三节 线性方程组的解

基本概念主要内容线性方程组有解的条件线性方程组解的几何意义举例第三节线性方程组的解线性方程组的求解步骤两个基本定理一、基本概念设有n个未知数m个方程的线性方程组)1(,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1)式可以写成以向量x为未知元的向量方程Ax=b,(2)以后线性方程组(1)与向量方程(2)将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组(1)如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可方便地讨论线性方程是否有解(即是否相容)以及有解时解是否唯一等问题.(i)无解的充要条件是R(A)R(A，b);定理3n元线性方程组Ax=b二、线性方程组有解的条件证明证明只需证明条件的充分性，因为(i)、(ii)、(iii)中条件的必要性依次是(ii)(iii)、(i)(iii)、(i)(ii)中条件的充分性的逆否命题.设R(A)=r.为叙述方便，无妨设B=(A,b)的行最简形为.00000000000000000100010001~1,12,2211,111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB(ii)有唯一解的充要条件是R(A)=R(A，b)=n;(iii)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A，b)n.证明证明只需证明条件的充分性，因为(i)、(ii)、(iii)中条件的必要性依次是(ii)(iii)、(i)(iii)、(i)(ii)中条件的充分性的逆否命题.设R(A)=r.为叙述方便，无妨设B=(A,b)的行最简形为.00000000000000000100010001~1,12,2211,111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB三、线性方程组的求解步骤对于线性方程组Ax=b当R(A)=R(B)n时,由于含n–r个参数的解0010011,,1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx((4)4)可表示线性方程组,,,,112,212121,11111rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx((3)3)的任一解，,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa((1)1)因此解(4)称为线性方程组(1)的通解.定理3的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，归纳如下：从而也可表示线性方程组的任一解，Step1对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形，从中可同时看出R(A)和R(B).若R(A)R(B)，则方程组无解.Step2若R(A)=R(B)，则进一步把B化成行最简形.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形.由未知量分别等于c1,c2,···,cn–r，由B(或A)的行最简形，即可写出含n–r个参数的通解.Step3设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量，其余n–r个未知量取作自由未知量，并令自单击这里开始例10求解齐次线性方程组.034,0222,022432143214321xxxxxxxxxxxx四、举例例11求解非齐次线性方程组单击这里开始.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx例12求解非齐次线性方程组.5192483,13254,24653,13424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx单击这里开始例13设有线性方程组,)1(,3)1(,0)1(321321321kxkxxxxkxxxxk问k取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解;(3)有穷多个解？并在有无穷多解时求其通解.解法一解法一初等行变换法初等行变换法对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有kkkkB11131110111初等行变换初等行变换.)3)(1()3(0030111kkkkkkkkk解法二解法二行列式法行列式法因为系数矩阵A为方阵，故方程组有唯一解的充要条件是系数行列式|A|0.而kkkA111111111||计计算算(3+k)k2,由此可得：((1)1)当k0且k-3时，|A|0，方程组有唯一解；解法评注解法评注本例中的两种解法是求解这类问题常用的两种方法.比较起来，解法二较简单，但解法二只适用于系数矩阵为方阵的情形.若系数矩阵不是方阵则只能用解法一即初等行变换.要注意的是，在对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于k+1，k+3等因式可以等于0，故不宜作诸如,)1(,11212krrkr)3(3kr这样的变换.如果确需作这样的变换，则要讨论.设有三元非齐次线性方程组五、线性方程组解的几何意义,,,22221111mmmmdzcybxadzcybxadzcybxa下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.(2)有唯一解这时方程组中的m个方程所,423,32,123zyxyxzx该方程组有唯一解.817,21,47则方程组的解有以下三种情况:(1)无解这时方程组中的m个方程所表示的平面既不交于一点,也不共线.表示的平面交于一点.例如如图3.1.2x-y=-33x+2z=-1x-3y+2z=4图3.1交直线所确定.(3)有无穷多组解这时又可分为两种情形:情形一R(A)=R(B)=1,即保留方程组只有一个方程,则有两个自由变量,其通解中含有两个任意常数,通解形式为x=c11+c22+,(c1,c2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是由过点且分别以1，2为方向向量的两条相例如,设保留方程组为x+y+z=3,则可求得其通解为.11110101121ccx则过点P(1,1,1)分别以(1,-1,0)T,(1,0,-1)T为方向,110111:,011111:21zyxLzyxL则这两条相交直线L1,L2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为为x+y+z=3.如图3.2.图3.2的直线上.,694,13283,542,432zyxzyxzyxzyx情形二R(A)=R(B)=2,即保留方程组有两个方程,这时方程组的通解为x=c+,(c为任意常数).此时方程组的所有解在过点且以为方向向量例如则其通解为单击这里开始求解.021112cx过点(-1,2,0)以向量(-2,1,1)T为方向向量作直线,11221:zyxL则由方程组所确定的四个平面必交于直线L.如图3.3.,694,13283,542,432zyxzyxzyxzyxL,2x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-54x-y+9z=-6图3.311221:zyxL六、两个基本定理由((i)i)无无解的充要条件是解的充要条件是RR((AA))RR((AA，，bb););定理定理33nn元线性方程组元线性方程组AxAx==bb((ii)ii)有有唯一唯一解的充要条件是解的充要条件是RR((AA)=)=RR((AA，，bb)=)=nn;;((iii)iii)有有无穷多无穷多解的充要条件是解的充要条件是RR((AA)=)=RR((AA，，bb))nn..容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.由定理4可得如下推论：推论当mn时，齐次线性方程组Amnx=0一定有非零解.定理5线性方程组Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(A,b).显然，定理4是定理3(iii)的特殊情形，而定理5就是定理3(i).为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).定理定理66矩阵方程矩阵方程AXAX==BB有解的有解的充要条件是充要条件是RR((AA)=)=RR((AA,,BB).).证明证明设A为mn矩阵，B为ml矩阵,则X为nl矩阵.把X和B按列分块，记为X=(x1,x2,···,xl)，B=(b1,b2,···,bl),则矩阵方程AX=B等价于l个向量方程Axi=bi(i=1,2,···,l).又，设R(A)=r，且A的行最简形为,~A则A~有r个非零行，且A~的后m–r行全为零行.再设定理定理66矩阵方程矩阵方程AXAX==BB有解的有解的充要条件是充要条件是RR((AA)=)=RR((AA,,BB).).证明证明设A为mn矩阵，B为ml矩阵,则X为nl矩阵.把X和B按列分块，记为X=(x1,x2,···,xl)，B=(b1,b2,···,bl),则矩阵方程AX=B等价于l个向量方程Axi=bi(i=1,2,···,l).又，设R(A)=r，且A的行最简形为,~A则A~有r个非零行，且A~的后m–r行全为零行.再设利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质(7)，即定理7设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.