《应用微积分》9.1微分方程的基本概念剖析

主讲教师：第9章常微分方程概念反思理论回味经典探究方法纵横前景展望12微分方程的基本概念3微分方程的实际背景4常微分方程：未知函数是一元函数偏微分方程：未知函数是多元函数含自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程.定义9.1马尔萨斯人口模型英国经济学家和人口统计学家马尔萨斯根据一百多年的统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。0N0)0(NN)0(t的增长速度与现有人口数量成正比，设开始时的人口数量为假设人口数量是时间)(tNt的连续函数，且人口数量在此基础上，马尔萨斯提出了如下的人口模型：rNdtdN其中r是常数，N为年增长率。例9.1冰雹的下落速度当冰雹由高空下落时，它除了受到地球的重力作用外，还受到了空气阻力的作用，阻力的大小与冰雹的形状和运动速度有关，一般可对阻力做两种假设：（1）阻力的大小与下落速度成正比（2）阻力的大小与下落速度的平方成正比例9.2y表示冰雹的速度，y表示冰雹的下落速度)0(y则（1）设阻力)0(kykf根据牛顿第二定律建立方程ykmgym（2）设阻力)0()(2kykf根据牛顿第二定律建立方程2ykmgym解微分方程中所含未知函数导数的最高阶数0)y,,y,y,x(F)n()y,,y,y,x(fy)n()n(1(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是叫做微分方程的阶.或定义9.2若微分方程中未知函数及其各阶导数的次数均为一次，且不存在它们的乘积项，则称为线性微分方程。例如，下列方程就是一组各具特色的常微分方程：065)1(ydxdy0)()5()2(3dyyxdxxyyxyxyxysin2'''')3(xeyyyy4'3''2''')4(0)0(',1)0(04'')5(yyyy1'')6(3xxeyy上述微分方程中(1)(3)(4)(5)都是线性微分方程，(2)(6)则不是。定义9.3—如果一个函数满足微分方程.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.的阶数相同.特解微分方程的解—确定了通解中任意常数的解定解条件。例如，方程ydxdy,'的解都是方程和可以验证yyeCexx是通解，但xCey是特解。而xey【注】通解满足两个条件：1)是解；2)含有任意常数。定义9.4一阶方程的初始条件(或初值条件):用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为微分方程的初始条件。求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为微分方程的初值问题。00y)x(y二阶方程的初始条件00y)x(y00y)x(y定义9.5几何上，微分方程的解的图形是一条曲线，称它为微分方程的积分曲线.而通解的图形就是一族曲线，称它为积分曲线族。某个特解的图形是一条特定的积分曲线。是微分方程的通解,的特解.)C,C(为常数21并求满足初始条件31xxlnCy验证函数022yyx4111xxy,y例9.3代入原方程左边得xCxCy2216是方程的通解.利用初始条件易得:故所求特解为23162CxCy032622221223122)xCxC()xCxC(xyyx3xxlny解验证函数)x(y441210242)(yxy)x('y)x(y4412是初值问题的解解将xy21代入方程xy)x('y242恒等式成立且满足10)(y)x(y4412是该初值问题的解所以例9.4通解特解微分方程的解微分方程的阶微分方程初始条件积分曲线1．试说出下列各微分方程的阶数：（1）（2）（3）（4）2230(')'xyyyx0xxyyxe20yxyyx0()()xydxxydy（1）2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（2）（3）（4）0''yy34sincosyxx22yyx1yx20'yy2xyxe0''()'yabyaby12axbxyCeCe3．微分方程1(ln)yxyyx的通解为（）Ａ．B．D．C．yxyCxxyCxeCxyxe4．在下列题中，确定函数关系式中所含的参数，使参数满足所给的初始条件2202,xxyCy（1）（2）2120001(),,'xxxyCCxeyy5．验证函数212xxyCeCe是微分方程20yyy的通解，并求满足初始条件0011,xxyy的特解。6．已知曲线通过点10(,)，且该曲线上任一点(,)Pxy处的切线的斜率为3x，求该曲线的方程。