求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。解：设点P的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得22)20()02(yx=2a化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。解法二：设P点坐标为（x，y），则|x+4|-22)2(yx=2当x≥-4时，x+4-22)2(yx=2化简得当时，y2=8x当x＜-4时，-x-4-22)2(yx=2无解所以P点轨迹是抛物线y2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。三、代入法如果轨迹点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代入法。例3P在以F1、F2为焦点的双曲线191622yx上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是。解：设P（x0，y0），G（x，y），则有)00(31)4(3100yyxxx即yyxx3300，代入191622yx得19916922yx即116922yx由于G不在F1F2上，所以y≠0四、参数法如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。例4已知点M在圆13x2+13y2-15x-36y=0上，点N在射线OM上，且满足|OM|·|ON|=12，求动点N的轨迹方程。分析：点N在射线OM上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为（x，y）与（kx，ky）（k＞0），故采用参数法求轨迹方程。解：设N（x，y），则M（kx，ky），k＞0由|OM|·|ON|=12得)(222yxk·22yx=12∴k（x2+y2）=12，又点M在已知圆上，∴13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0由上述两式消去x2+y2得5x+12y-52=0点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。五、交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，此法称为交轨法。例5已知A1A是椭圆12222byax（a＞b＞0）的长轴，CD是垂直于A1A的椭圆的弦，求直线A1C与AD的交点P的轨迹方程。解：设P（x，y），C（x0，y0），D（x0，-y0），（y0≠0）∵A1（-a，0），A（a，0），由A1、C、P共线及A、D、P共线得axyaxyaxyaxy0000两式相乘并由1220220byax，消去x0，y0，得，所求轨迹方程为12222byax（y≠0）点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。