1建立方程、定解条件

§1建立方程、定解条件1.方程的导出2.定解条件和定解问题3.变分原理4.分离变量法上页下页返回1.方程的导出本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）以及泊松方程的基本定解问题及解的性质。0222222zuyuxuu(1.1)),,(222222zyxfzuyuxuu(1.2)方程(1.1)及(1.2)具有广泛的物理背景，振动趋于平衡，热传导趋于稳定以及保守场都可归结为方程(1.1)或(1.2)上页下页返回(1)引力位势),,(zyxP),,(0000zyxPF位于P0处，质量为M的质点对于位于P处具有单位质量的质点的引力F，大小为2rM，方向与0PP同向。即rzzryyrxxrMzyxF0002,,),,(202020)()()(zzyyxxr其中定义调和方程(1.1)的连续解，即，关于变量x，y，z具有二阶连续偏导数并且满足方程(1.1)的连续函数称为调和函数。上页下页返回经计算可得：gradF称为引力位势。除了可以相差一个常数外，位势函数是唯一确定的。若质量以密度),,(zyx分布在区域上，则上的质量所产生的总引力位势应为：222)()()(),,(),,(zyxdddzyx时当),,(0zyx直接计算可得：时当－),,(4zyx还可进一步验证：rMzyx),,(令上页下页返回(2)静电场的电位势从静电学知道，穿过闭合曲面向外的电通量等于闭合曲面所围空间G中的电量的4倍，即GGdxdydzEdxdydz4应用高斯公式，上式可改写为：GdxdydzdSnE4上页下页返回4E由区域G的任意性得：静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电势u，uE从而静电场的电势u应当满足泊松方程4u如果静电场的某一区域里没有电荷，即ρ=0，则静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程0u上页下页返回(3)稳定温度分布热传导持续进行下去，如果达到平衡状态，温度的空间分布不再变动，即0tu。以0tu代入三维热传导方程，得到温度的稳定分布方程0222222zuyuxuu上页下页返回2.定解条件和定解问题由于u与时间无关，只是空间变量的函数，所以定解条件中只有边界条件，称为边值问题。本章主要研究第一、二类边值问题及外问题。(1)第一边值问题（Dirichlet问题）上给定的函数）是在闭曲面（其中ggu|(2)第二边值问题（Neumann问题）的单位外法向量）是（其中ngnu上页下页返回(3)Dirichlet外问题guzyxu外部),,(0(4)Neumann外问题的单位内法向量）是（其中外部ngnuzyxu),,(0注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：)(0),,(lim222zyxrzyxur上页下页返回其它边界条件(5)第三类边界条件的单位外法向量）是（其中ngunu(6)等值面边界条件（总流量边界条件）AdSnuCu已知常数待定常数对于泊松方程(1.2)的各种边值问题，只要找出泊松方程的一个特解，由叠加原理，就能化为调和方程(1.1)的对应的边值问题。由引力位势的方程可知，当g满足Hölder条件时，这种特解是容易找到的。所以以后主要研究调和方程(1.1)的边值问题。上页下页返回3.变分原理膜的平衡问题：①物理模型：考虑一处于紧张状态的薄膜，它的部分边界固定在一框架上，另一部分边界上受到外力的作用；若整个薄膜在垂直于平衡位置的外力作用下处于平衡状态，问膜的形状如何？取膜的平衡位置为xoy平面上的区域，以u轴垂直于xoy平面，并与x,y轴组成右手系。在的边界上，，在上已知膜的位移为，在上膜受到外力的作用，设它的垂直于膜的分量为),(yxp。上页下页返回②物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画这个平衡状态。例如，力的平衡原理、虚功原理等。这里用最小总位能原理，即受外力作用的弹性体，在满足已知边界位移约束的一切可能位移中，以达到平衡状态的位移使物体的总位能为最小。③数学形式：为了对膜的平衡问题写出上述原理的数学形式，我们必须弄清楚两个概念。1、什么叫总位能？对于膜来说，总位能的数学形式是什么？2、什么叫“满足已知边界位移约束的一切可能位移”？上页下页返回外力作功－＝总位能应变能处于某一位置的膜所具有的应变能就是把膜从水平位置转移到这个位置，为了抵抗张力所作的功的总和。问题1的解答：从弹性力学理论知道：假设膜的形状为),(yxvu，则当1,yxvv时，膜的应变能可以表为张力与膜由于变形所产生的面积的增量的乘积。即dxdyvvTTyx1122应变能dxdyvvTyx222)(2111o由于按照弹性力学理论上页下页返回dxdyvvTyx)(222应变能即：如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用在膜内的),(yxF（牛顿∕米2），另一个是作用在膜的边界上的),(yxp（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各点的位移为),(yxv，则dssvspdxdyyxvyxF)()(),(),(外力作功dssvspdxdyyxvyxFdxdyvvTvJyx)()(),(),()(2)(22从而，当膜上各点的位移为),(yxv时，总势能)(vJ为上页下页返回所有可能位移即表示这样一个函数集合：1o满足已知位移约束，即v；2o使总势能)(vJ有意义。为此，令vCvvM),(1最小总势能的数学表述：若Mu是膜达到平衡状态的位移场，则)(min)(vJuJMv(1)定义：求泛函极值的问题（1）称为变分问题。结论：膜达到平衡状态的位移u是变分问题（1）的解。问题2的解答：上页下页返回变分原理：若)()(12CCu是变分问题(1)的解，那么，它必是边值问题uyxpnuTFuT),,()(,(2)的解；反之，若)()(12CCu是边值问题（2）的解，那么，它必是变分问题(1)的解。证明：设Mu是变分问题(1)的解，任取0),(10vCvvMv则对于任意1R，有Mvu，且)()(vuJj在0处达到最小值，从而有0)0(j，即上页下页返回dssvspvdxdyFdxdyvuvvuvTjyyxx)()())(2)(2(2)(dssvsuspdxdyvuFdxdyvuvuTvuJjyx))()()(()())()((2)()(220)()()()0(dssvspvdxdyFdxdyvuvuTjyyxx上页下页返回dxdyuuvvuvudxdyvuvuyyxxyyxxyyxx)()()()(若)(2Cu，应用格林公式，得dssvnuTdssvnuTdssvspdxdyyxvyxFvdxdyuTj)()()()(),(),()0(0)(dssvpnuTvdxdyFuT(3)udxdyvdsnvuvuyx),(udxdyvdsnuv注意到0v，所以有上页下页返回由0Mv的任意性，先任取)(0Cv，必有0vdxdyFuT将(4)代入(3)，由于v在上的值可以任意选取，所以必成立0pnuT(5)由(4)、(5)及M的定义可得u是边值问题(2)的解。反之，若u是边值问题(2)的解，必有0)0(j，因为0)0(22dxdyvvTjyx，所以u是变分问题(1)的解。FuT(4)即上页下页返回附注1从变分问题(1)可以看出，我们对给定在边界上的第一边界条件和第二边界条件的处理是不同的，第一边界条件作为位移约束强加在允许函数类M上，而第二边界条件并不需要加在允许函数类M上，而是作为泛函中的一部分，由取泛函极值的函数自然满足的。因此，在变分方法中，通常称第一边界条件为约束边界条件（或强制边界条件），而称第二或第三边界条件为自然边界条件。附注2如果，则，那么边值问题(2)即是Poisson方程的第一边值问题；如果，则，那么边值问题(2)即是Poisson方程的第二边值问题。上页下页返回4.分离变量法求解Laplace方程(1)矩形区域上Laplace方程的第一边值问题)3().(),(),()0,()2(,0),(),0()1(,0,0,0xbxuxxuyauyubyaxuuyyxx解：设方程(1)有形如)()(),(yYxXtxu的特解，满足齐次边界条件(2)。代入方程(1)得：0)()()()(yYxXyYxX分离变量：)()()()(yYyYxXxX上页下页返回0)()(yYyY0xXxX)()(由此得X，Y满足得常微分方程：由边界条件(2)知：0)()0(aXX0)()0(0)()(aXXxXxX得固有值问题：解之得：),2,1(222kakk),2,1(sin)()(kxakDxXxXkk上页下页返回:222所满足的方程为，对于固有值Yakk0)()(222yYakyY通解为其中Ak，Bk为任意常数。因此是满足方程(1)和边界条件(2)的解。kkkkkkDBBDAA,这里，xakeBeAyYxXUyakkyakkkkksin)()()(上页下页返回叠加所有的Uk，即)(sin)(1xxakeBeAukbakkbakkby代入边界条件(3)，得：11sin)(kyakkyakkkkxakeBeAUu)(sin)(10xxakBAukkky上页下页返回由傅里叶正弦展式的系数公式得akakabkkkkkkkdakdakeEaEaEEBaEaEA00222sin)(,sin)(,22112211其中解得：abakkbakkakkdakaeBeAdakaBA00sin)(2sin)(2上页下页返回(2)圆形区域上Laplace方程的第一边值问题).,(,,0222222yxfulyxuulyxyyxx解：作极坐标变换sin,cosryrx，则),(~)sin,cos(),(rurruyxu原问题化为：)2()(~)sin,cos(~)1(,20,0,0~1~1~2fllfulrururulrrrr上页下页返回现在设)()(),(~rRru，代入方程(1)得),0(~u(3)此外，因u在圆心连续，故有自然边界条件：因),(r和)2,(r代表同一点，故有u~关于的周期性条件：)2,(~),(~ruru(4)0112RrRrR即：RRrRr2上页下页返回0,02RRrRr由此得R，满足得