拉普拉斯变换 例题解析

第二章：控制系统的数学模型§2.1引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C网络CruRidtdiLu+⋅+⋅=↓ciCu=⋅&cccuuCRuCL+′⋅⋅+′′⋅⋅=11cccRuuuurLLCLC′′′∴++=──2阶线性定常微分方程（2）弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况02B0AAAi1xk)xxf()xx(k=−=−∴&&由A1Ai1xk)xx(k=−解出012iAxkkxx−=代入B等式：020012ixk)xxkkxf(=−−&&&02012ixkx)kk1f(xf++=⋅&&得：()i1021021xfkxkkxkkf&&=++──一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机电枢回路：baEiRu+⋅=┈克希霍夫电枢及电势：mebCEω⋅=┈楞次电磁力矩：┈安培iCMmm⋅=力矩方程：mmmmmMfJ=+⋅ωω&┈牛顿变量关系：mmbaMEiuω−−−−消去中间变量有：ammmmukT=+ωω&[][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数CCfRCkCCfRRJTmemmmmemmm（4）X-Y记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+Δ⋅==Δll4p3m2ammmm1aprku:k:k:ukT:uku:u-uu:电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ&&&amrpuuuulθθΔ−−−−−−−−−−−消去中间变量得：am321m4321mukkkkkkkkkT=++lll&&&─二阶线性定常微分方程即：amm321mm4321muTkkkklTkkkkklT1l=++&&&2、线性系统特性──满足齐次性、可加性z线性系统便于分析研究。z在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。z非线性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程()ααcosEy0=解：在0αα=处线性化展开，只取线性项：()()()()0000sinEyyααααα−−+=令()()0y-yyαα=Δ0ααα−=Δ得ααΔ⋅−=Δ00sinEy3、用拉氏变换解微分方程（初条件为0）aulll222=++&&&()()()s2s2UsL22ss:La2==++()()22sss2sL2++=()()[]sLLt:L-11=−l复习拉普拉斯变换的有关内容1复数有关概念（1）复数、复函数复数ωσjs+=复函数()yxjFFsF+=例：()ωσj22ssF++=+=（2）复数模、相角()()xy2y2xFFarctgsFFFsF=∠+=（3）复数的共轭()yxjFFsF−=（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。2拉氏变换定义()()[]()dtetftfLsFst0−∞⋅==∫⎩⎨⎧：像：像原F(s))t(f3几种常见函数的拉氏变换1.单位阶跃：()⎩⎨⎧≥=0t10t0t1()[][]()s110s1es1dte1t1L0st0st=−−=−=⋅=∞−∞−∫2.指数函数：⎩⎨⎧≥=0te0t0)t(fat()[]as1)10(as1eas1dtedtee)]t(f[L0t)as(0tasst0at−=−−−=−−==⋅=∞−−∞−−−∞∫∫3.正弦函数：⎩⎨⎧≥=0ttsin0t0)t(fω[][][]22220t)js(0t)js(0)tjs()tj-(s-st0tjtj0stss2j2j1js1js12j1ejs1ejs12j1dtee2j1dteee2j1dtetsin)t(fLωωωωωωωωωωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=−=⋅−=⋅=∞+−∞−−∞+−−∞−∞−∫∫∫4拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质：[])s(bF)s(aF)t(bf)t(afL2121+=+（2）微分定理：()[]()()0fsFstfL−⋅=′()()()()()()()()stst00-stst00st0ftedtedfteftftde0-f0sftedtsFsf0∞∞−−∞∞−∞−′=⋅=⎡⎤=−⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=−=∫∫∫∫证明：左右零初始条件下有：()()()()()()()()()nnnn-1n-2LftsFssf0sf0sf0f0−⎡⎤′=−−−−−⎣⎦L进一步：-2n1()()[]()sFstfLnn⋅=z例1：求()[]tLδ()(t1t′=)δQ解：()[]()[]()1010s1st1LtL=−=−⋅=′=∴−δδz例2：求[]tcosLω解：[]2222ssss1tnsiL1tcosωωωωωωω+=+⋅⋅=′=Q（3）积分定理：()[]()()()0fs1sFs1dttfL1-+⋅=∫（证略）零初始条件下有：()[]()sFs1dttfL⋅=∫进一步有：{()()()()()()()()0fs10fs10fs1sFs1dttfLn21n1nnnn−−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫LLz例3：求L[t]=?解：()dtt1t∫=Q[]()[]20ts1ts1s1s1dtt1LtL=+⋅==∴=∫z例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2tL2解：∫=tdt2t2Q[]30t222s12ts1s1s1tdtL2tL=⋅+⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴=∫（4）位移定理实位移定理：()[]()sFe-tfLs⋅=−ττz例5：()()sF0t01t010t0tf求⎪⎩⎪⎨⎧=解：)1t(1)t(1)t(f−−=()()sse1s1es1s1sF−−−=⋅−=∴虚位移定理：()[]()a-sFtfeLat=⋅（证略）z例6：求[]ateL:解[]()[]as1et1LeLatat−=⋅=z例7：[]()223ss223t-53s3s5sscos5teL+++=+=⋅+→z例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−)15t(5coseL)35t(coseL2t2tππ()()222s152ss22s15-52s2se5sse+++⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+−+→ππ（5）终值定理（极限确实存在时）()()()sFslimftflim0st⋅=∞=→∞→证明：由微分定理()()()0fssFdtetfst0−=′−∞∫取极限：()()()0fssFlimdtetflim0sst00s−=′→−∞→∫()[]()()()()()()0fssFlim0fftfdt1tfdtlimetf0s000sst0−==−∞==⋅⋅′=′=→∞∞→−∞∫∫右左∴有：证毕()()ssFlimf0s→=∞z例9：()()()bsass1sF求++=()f∞解：()()()ab1bsass1slimf0s=++=∞→z例10：()0sslimtsinf220st=+≠=∞→∞→ωωω拉氏变换附加作业一．已知f(t),求F(s)=?()1-tT111T1).f(t)1-eFs11ssssTT==−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠=()22221s0.122).f(t)0.03(1cos2t)F(s)0.03ss2ss2⎡⎤=−=−=⎢⎥++⎣⎦s15222250.866s2.53).f(t)sin(5t)F(s)e3s5ππ+=+==++s5()0.4t222s0.4s0.44).f(t)ecos12tF(s)s0.8s144.16s0.412−++===++++[]05).f(t)t11tt⎡⎤=⋅−−⎣⎦()()0ts0211tseFss−−+=()()()223s2s86).F(s)f?f(0)?f()1,f(0)0ss2s2s4++=∞==∞+++已知求==二．已知F(s),求f(t)=?()222s5s11).F(s)f(t)1cost-5sintss1−+==++()4t24ts2).F(s)f(t)17ecos(t14)s8s17ecost4sint−−==++=−o+t132113).F(s)f(t)ees21s120s1008181−−0t19t+==+++−()2-2tt23s2s84).F(s)f(t)1-2eecos3tss2(24)ss−++==++++⋅()()t32s221315).F(s)f(t)(t)ee32412ss1s3t−−+==−++++5.拉氏反变换(1)反变换公式：∫∞+∞−=jjstdse).s(Fj21)t(fσσπ(2)查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)as(s1)s(1.F求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=++=as1s1a1)as(ss-a)(sa1)s(.F解[]ate1a1)t(f−−=∴微分方程一般形式：rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n(+′+++=+′+++LL)0(:L设初条件为[][]R(s)bsbsbsb)s(Casasasasm1-m1m1m0n1-n2-n21-n1n++++=+++++−LL)s(A)s(R).s(Basasasas)R(s)bsbsbs(bC(s)n1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0=+++++++++=∴−LL)ps()ps)(ps()s(R).s(Bn21−−−=L∑=−=−++−+−+−=n1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(CL特征根:pi∑==++++=∴n1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(fL模态:etpi)s(F的一般表达式为：[]rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n(+′+++=+′+++LL来自：（I）)mn(asasasasbsbsbsb)s(A)s(B)s(Fn1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0+++++++++==−LL其中分母多项式可以分解因式为：(II))ps()ps)(ps()s(An21−−−=L的根(特征根)，分两种情形讨论：)s(Api为I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：)0)s(A=)s(F∑=−=−++−+−+−=n1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(FL∑==++++=∴n1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(fL即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：icic(Ⅲ))s(F).ps(limcipsii−=→ips'i)s(A)s(Bc==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′))●例2：34ss2s)s(F2+++=求?)t(f=解：3sc1sc3)1)(s(s2s)s(F21+++=+++=2131213)1)(s(s2s)1s(limc1sIII1=+−+−=++++=−→2113233)1)(s(s2s)3s(limc3sIII2=+−+−=++++=−→3s211s21)s(F+++=∴3tte21e21)t(f−−+=∴●例3：34ss55ss)s(F22++++=，求?)t(f=解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s(s2s134ss2s3)4s(s)s(F22++++=++++++=3tte21e21)t()t(f−−++=∴δ●例4：j1scj-1scj)1j)(s-1(s3s22ss3s)s(F212++++=++++=+++=解法一：2jj2j)1j)(s-1(s3s)j-1s(limcj1s1+=+++++=+−→2jj-2j)1j)(s-1(s3s)j1s(limcj-1s2−=++++++=−→j)t1(t)j1(e2jj-2e2jj2)t(f−−+−−+=∴[]jt-jtte)j2(e)j2(e2j1−−+=−（tcosj2ee,tsinj2eejtjtjtjt=+=−−−Q）[])2sintcost(ej4sint2coste2j1tt+=+=−−1)1s(21)1s(1s1)1s(2