拉普拉斯变换2.1-2.2

第二章拉普拉斯变换2.1拉普拉斯变换的概念2.2拉普拉斯变换的性质2.3拉普拉斯逆变换2.4卷积2.5拉普拉斯变换的应用引言拉氏变换在系统分析中的优势1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数方程，降低求解难度。2、将系统在时域内的卷积计算转换为复频域的乘法计算，减少计算量。3、在拉氏变换的基础上建立的运算法，为线性时不变电路的分析计算提供了很大方便。4、利用在复频域中引出的系统函数，可以方便地分析系统的各种特性。频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。傅氏变换的局限2.1拉普拉斯变换的概念1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件，则有傅里叶变换j()[()]()edtFftfttF1j1()[()]()ed2tftFFF几乎所有的实用函数φ(t)乘上u(t)再乘上e-t后得到的φ(t)u(t)e-t傅氏变换都存在。tf(t)Otf(t)u(t)etO对函数j(t)u(t)et(0)取傅氏变换，可得j(j)000()()()eed()ed()edj,()()()()j()()edtttststGtuttfttfttsfttutsFsGFsfttjj其中若再设则得s表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。只能描述振荡频率，而不仅能给出重复频率，还可以关键在于引入衰减因子e-t，可适用于更多函数信号。定义设函数f(t)当t0时有定义,而且积分0()ed()stftts是一个复参量0()()ed(2.1)stFsftt在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式),记为F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数)。而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)，记为f(t)=L1[F(s)]也可记为f(t)F(s)。若函数f(t)满足:1）在t0的任一有限区间上分段连续2）当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect，0t则f(t)的拉氏变换0()()edstFsftt在半平面Re(s)c上一定存在，右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛，并且在Re(s)c的半平面内，F(s)为解析函数。2.拉普拉斯变换的存在定理MMectf(t)tO使f(t)拉氏变换存在的Re(s)c的取值范围称为F(s)的收敛域。3.拉普拉斯变换的收敛域（ROC：TheRegionofConvergence）收敛边界σjω0αc收敛域例1求单位阶跃函数的拉氏变换0100)(tttu0de)]([ttustL解根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有011ede01[()](Re()0).ststtssutss所以LjO例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数)。()00[()]eededktstsktftttL()()0011ede1[e](Re()).sktsktkttsksksksk所以L这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)Re(k)解根据拉氏变换的定义,有例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。0jj0(j)(j)00(j)(j)0022[sin]sined1(ee)ed2jjeded2j112jjj112jjstktktstsktsktsktsktktkttttteeskskkskskskL解根据拉氏变换的定义,有0)s(Re同理可得220)j(0)j(0)j(0)j(0jj0j1j121j1j121dede21de)e(e21decos][coskssksksekseksttttktkttkstkstkstksstktktstL0)s(Re满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分0[()]()edstftfttL中的下限取0+或0不会影响其结果。但如果f(t)在t=0处包含冲激函数时,就必须明确指出是0+还是0,因为)]([de)(de)()]([de)()]([0000tfttfttftfttftfstststLLL4.拉普拉斯变换的积分下限0-当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了冲激函数时,则)]([)]([,0de)(00tftfttfstLL即)]([)]([,0de)(00tftfttfstLL即为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式。00de)()]([)1.2(de)()]([ttftfttftfststLL应为例求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换。000[()]()ed()ede1stststttttttdddL冲激函数的筛选性质5.周期函数的拉普拉斯变换)0)(Re(de)(e11)]([0sttftfTstsTL一般地，以T为周期的周期函数f(t)，即f(t)=f(t+T)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有证明：TstskTTsuskTTkTusukTtTkkstdtetfedueufeduekTufdtetf000)(1)(T)()()()(但0)1(T)1(T2T00)()()()](L[kTkk-stTkk-stT-stT-st-stdtetfdtetfdtf(t)edtf(t)edtetftf01()1tTssTftedte0000L[()]e()()TskTstkTstskTkftftedtftedte0)s(Re例求周期性三角波btbtbbtttf220)(且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)2tanh1e1e111)e1(e11de)(e11)]([22222202bssssttftfbsbsbsbsbstbsL解222020)e1(1de)2(dede)(bsbbstbstbststtbttttf0)s(Re常用函数拉氏变换对：δ(t)u(t)s1ektks1122kskktsinktcos22kss2.2拉普拉斯变换的性质1.线性性质若a,是常数L[f1(t)]=F1(s),Re(s)c1,L[f2(t)]=F2(s),Re(s)c2则有L[af1(t)+f2(t)]=aF1(s)+F2(s)L1[aF1(s)+F2(s)]=af1(t)+f2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出。例f(t)=d(t)+(t)←→1+1/s，Re(s)0Re(s)max(c1,c2)2.微分性质若f(t)←→F(s)则f′(t)←→sF(s)–f(0-)f〞(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f′(0-)f(n)(t)←→csfssFsniiinn)Re()0()(10)(1若初值为零，f(0-)=f′(0-)=…=f(n-1)(0-)则f(n)(t)←→snF(s)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程。时域微分性质00000d|d[()]()eded()e()()de(0)()ed[()](0)[()]()(0)(Re())bbbaaastststststuvuvvuftfttftftftfsfttsftfftsFsfsc即LLL证明根据分部积分公式和拉氏变换公式解由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=k2coskt,则22[cos](Re()0)sktsskL例利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换。L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)即-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s移项化简得所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]sm1f0)sm2f'(0)...f(m1)(0)1![!]![1]0).mmmmmsmtss而所以LLL例利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数。解由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!即L[m!]=smL[tm]s域微分性质若L[f(t)]=F(s),则F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)c.和F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)c.000dd()()edddd()ed()eddstststFsfttssftttftts证明因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序例tu(t)←→?2d11()dsss例求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换。2222222)(2dd]sin[][sinkskskskskttkskktLL根据上述微分性质可知因为解2222222222222222222)()(21)(2dd]cos[kskskskssksksskssskttL同理可得3.积分性质时域积分性质若L[f(t)]=F(s))(1)(1d)()],([)0()]([)]([,0)0(),()(,d)()(00sFstfsttfthshthsthhtfthttfthttLLLLL即有由上述微分性质且则有设)(1d)(0sFsttftL则)(1d)(dd}{000sFsttfnttnttt次L证明000()d()edd1()()eded()()()d(),dd()dstssststssnsssnFssfttsftftttttftftFssttftssFsst次即一般地有LLLs域积分性质若L[f(t)]=F(s)，则例求函数的拉氏变换。tttfsin)(sssssttss1arctanarctan2arctand11sin2解11sin2st此公式常用来计算某些积分。000()d,(2.10),0()d()d,fttstfttFsst如果积分存在按式取则有202001[sin],1sin1ddarctan|12tsttssts则有L4.时域位移性