拉普拉斯变换性质

§92拉普拉斯变换的基本性质1.线性组合定理(Linearcombinationtheorem)L[af1(t)bf2(t)]=aL[f1(t)]bL[f2(t)]例1求cost(t)及sint(t)的拉普拉斯象函数。)(εe21)(εe21)](ε[cosjjttttttωωωLL解：)(ε21)(ε21jjtetettωωLL2.微分定理(differentiationtheorem))0()()(ddftfstftLL证明：00)(ded)(dde)(ddtfttfttfttstsL22)j1j1(21ssss000de)()(e)(detstststftftf)0()(ftfsL)0()}0()({)(dd22fftfsstftLL00de)()(ettfstftsts)0()0()(2fsftfsL例2某动态电路的输入输出方程为)()(dd)()(dd)(dd010122tebtetbtratrtatrt响应及其一阶导数的原始值分别为r(0)及r(0)，激励函数的原始值e(0)=0。求响应的象函数。解：)()0()()()0()()0()0()(01012sEbessEbsRarssRarsrsRs)0(1)0()()(012012101201rasasrasasassEasasbsbsR)()()0()0()()()(011012sEbsbrrassRasas代入e(0)=0后整理得由反变换可得原函数r(t)3.积分定理(integrationtheorem))(1d)(0tfsttftLL证明：)(d)(dd0tfttfttLL)(d)(d)(000tfttfttfstttLL)(1d)(0tfsttftLL例3求nsss11132、、的原函数。st1)(εL解：)(εd)(ε0ttttt201)(ε1d)(ε)(εststttttLLL)(ε121ttsL同理3021)(ε1d)(ε)(ε2sttsttttttLLL)(ε!21231ttsLnnstnt1)(ε)!1(1L)(ε)!1(111tntsnnL4.时域位移定理(time-shifttheorem)tttttftsde)(ε)(000)(e)(ε)(000sFttttftsL证明：)(ε)(00ttttfLtttttftstde)(ε)(000tttfttttfttsde)(ε)()(ε)()(0000L)(ede)(ε)(e000sFtttftststs例4求u(t)的拉普拉斯象函数U(s)。0ttt令tttttdd0则解：)2(ε)(ε2)(ε)(000tUtUtUtuττ2000e)(εe)(ε2)(ε)(sstUtUtUtuLLLL)21(1121)(202000sssseesUseUseUsUsUττ2000e)(εe)(ε2)(ε)(sstUtUtUtuLLLL5.初值定理与终值定理（1）初值定理(initial-valuetheorem))(lim)0(ssFfs证明：ttffssFstdedd)0()(0ttfttfststdedddedd000)0()(dedd0fssFttfstttf-ffstdedd)0()0(0ttffssFstdedd)0()(0)0()(limfssFs（2）终值定理(final-valuetheorem))(lim)(lim0ssFtfst证明：)0()(lim)0()(lim0ftffssFts)(lim)(lim0tfssFts6.时域卷积定理(timedomainconvolutiontheorem))()()()(2121sFsFtftfL证明：ttfftftftsde]d)()()()(021021τττLτττdd)()(0201tetffts02121de)()()()(τττssFftftfLde)()(012sfsF)()(21sFsF返回