广东金融学院微积分期末自测必考题及答案

复习微积分微分积分微分导数不定积分定积分微积分12:16:52一元微积分多元微积分微分二重积分全微分偏导数无穷级数微分方程差分方程积分.,,),2ln(.122yxzyzxzyxxz求设函数),(.2yxzz函数.dz,0ez5ezxy求确定由),,(),(.3yxfzyzxzfz确定的隐函数由.,yzxz求),)(,(.4具有二阶连续偏导数设fyxxfz.,,22xzyzxz求6.设F(x–2z,y–3z)=0,F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程.132yzxz必考题12:16:525.求函数的极值.)2(e),(22yxyxfyx7..,2所围成的区域及是由其中xyxyDdyxD12:16:52计算其中D是由,yDdxdyx221xy及xyx,28.9.是由心脏线其中计算DyxD,d22).()cos1(取圆外部所围成的区域和圆arar所围成的区域.10.计算其中D是由不等式.yxyx确定的区域及0222,d22Dyx,422yx必考题11.改换下列二次积分的积分次序:;dx)y,x(fdy)1(yy10（2）xxdyyxfdxsinsin),(2π0必考题12.判定下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛。;1nn)1()1(2n1n.n)1nln()1()2(1n1n计算下列各题.yxz,yz,xz),y2xln(xz.122求设函数解：xz;2)2ln(22yxxyxxyz;222yxxyxz2.)2(2822yxxxyyxx22222)2()2(yxx必考题讲评)y,x(zz.2函数.dz,0ez5ezxy求确定由0dzedz5)xy(dezxy0dzedz5)xdyydx(ezxy.dy5exedx5eyedzzxyzxy两边求全微分解：,0)ez5e(dzxydz)5e(z),(xdyydxexy必考题讲评),y,x(zz)yz,xz(fz.3确定的隐函数由.,yzxz求解1：则设),,(yzxzfzF(公式法),1zfFx,2fFy,121fxfFzxzzxFF2111fxfzf,1211fxfzfyzzyFF.1212fxff所以,必考题讲评),y,x(zz)yz,xz(fz.3确定的隐函数由.,yzxz求解2：则求偏导方程两边对,x(直接法)xz,1211fxfzfyz.1212fxff)(1xzxzfxzf2xz则求偏导方程两边对,yyz)(1yzxf)1(2yzf必考题讲评),y,x(zz)yz,xz(fz.3确定的隐函数由.,yzxz求解3：(全微分形式不变性和全微分公式)xz,1211fxfzfyz.1212fxff则方程两边求全微分,dz)],([yzxzfd)()(21yzdfxzdf)()(21dydzfxdzzdxfdzdxfxfzf2111dyfxff2121所以,必考题讲评)、f)(yx,x(fz.4二阶连续的偏导数具有一其中设.,,22xzyzxz求解：xz;121yffyz);(22yxf22xz)1(21yffx)1(1122211211yffyyff.122222111fyfyf必考题讲评,yxv,xu令5.求函数的极值.)2(e),(22yxyxfyx得驻点(0,0),(–4,–2).解0e4)2(e),(,0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf求函数的二阶偏导数，),242(e),(22xyxyxfyxxx),422(e),(22yxxyyxfyxxy).482(e),(22yyxyxfyxyy解方程组在点(0,0)处,有A=2,B=0,C=–4，,ACB082一、二元函数的极值12:16:5312由极值的充分条件知,在点(–4,–2)处,而A0,由极值的充分条件,,e12,e8,e6222CBA有,0e872ee644442ACB点(0,0)不是极值点.f(–4,–2)=–8e–2是函数的极大值.知点(–4,–2)为极大值点,5.求函数的极值.)2(e),(22yxyxfyx一、二元函数的极值12:16:53136.设F(x–2z,y–3z)=0,F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程.132yzxz所以xz证二（全微分法）,32211FFF,32212FFFyz从而有yzxz32212211323322FFFFFF.103z)-d(y2z)-d(xF21F1F2dz)-(dx2F3dz)-(dy02122113232FFdzFFFdxF0)]3,2([zyzxFd将积分区域看作则积分限为解.xyxyD,dyx.72D所围成的区域及是由其中Ddyxxxdyyxdx210.556,02xy,02xy,X型,10x,xyx2D1012:16:538.计算其中D是由解,yDdxdyx221xy及xyx,2Dydxdyx22xxdyyxdx122212112dxyxxx213)(dxxx.49选择直角坐标D12:16:53所围成的区域.9.解22(1cos)22dddDaaxyrrr33221[(1cos)1]d3a).2922(3a是由心脏线其中计算DyxD,d22).()cos1(取圆外部所围成的区域和圆arar12:16:537.8二重积分习题课10.计算其中D是由不等式解曲线的极坐标方程为xyx222,cos2θr曲线的极坐标方程为422yxDyxd22d312022cos3rθcos2r,d22Dyx.yxyx确定的区域及0222,422yxr=2.2rxyo202cos22ddrrd)cos1(38203)sin31sin(38203).32(382202ddrr2203dr31d382341D2D12:16:537.8二重积分习题课10.计算其中D是由不等式解曲线的极坐标方程为xyx222,cos2θr曲线的极坐标方程为422yxDyxd22θcos2r,d22Dyx.yxyx确定的区域及0222,422yxr=2.2rxyo0202rdrd).32(3820cos202rdrd12:16:537.8二重积分习题课11.改换下列二次积分的积分次序:解型Y型Xyydxyxfdy),()(1012xyD10则积分限为,10x,xyx2yydx)y,x(fdy10xxdy)y,x(fdx210（2）xxdyyxfdxsinsin),(2π012:16:537.8二重积分习题课（2）解xxdyyxfdxsinsin),(2π0,Y型π201ydxyxfdyarcsin),(yydxyxfdyarctanarcsin),(π1011.改换下列二次积分的积分次序:型X12:16:537.8二重积分习题课1nn)1(nlim1n21n,121kp且即,1)(xxxf令2)1(21)(xxxxf,01limnnn是绝对收敛，还是条件收敛.2n1n1nn)1(条件收敛。解：由莱布尼茨判别法知，且1nn即单调减少,因为1limnnn,1.故原级数非绝对收敛,0),2(x12.判定下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定;1nn)1()1(2n1n;n)1nln()1()2(1n1n),2(x,)1ln()(xxxf令2)1()1ln()1()(xxxxxxfnnn)1ln(lim11)1ln()1(nnnn条件收敛。解：由莱布尼茨判别法知，且nn)1ln(即单调减少,因为.故原级数非绝对收敛,0,1)1ln(nnn,11发散而nn),2x(),2x(11limnn,0;n)1nln()1()2(2n1n),2n(·24·Thankyou!祝同学们期末考试取得好成绩