坐标系与参数方程

【2013年高考会这样考】考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题．【复习指导】复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法．基础梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝.2acosθ2asinθ基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数x＝ft，y＝ft，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．(2)圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecφ，y＝tanφ(φ为参数)．抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．双基自测1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝03．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为2，3π4.答案2，3π44．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点2，π6到直线l的距离为________．解析∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点2，π6到直线l的距离为2.答案25．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析由ρsinθ＋π4＝2，得22(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－22＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2r2－d2＝242－2222＝43.答案43考向一极坐标和直角坐标的互化【例1】►(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为2，π6，直线l过点A且与极轴所成的角为π3，则直线l的极坐标方程为________________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．解析∵点A的极坐标为2，π6，∴点A的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为π3，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)tanπ3，即3x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcosθ＋π6＝1或ρsinπ3－θ＝1或ρsinθ－4π3＝1.答案ρcosθ＋π6＝1或3ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsinπ3－θ＝1或ρsinθ－4π3＝1.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．【训练1】(2011·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．解析由极坐标与直角坐标的互化公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y可得，ρcosθ＝1,ρsinθ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2kπ－π3(k∈Z)，故点P的极坐标为2，2kπ－π3(k∈Z)．答案2，2kπ－π3(k∈Z)考向二圆的极坐标方程的应用【例2】►(2011·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.解析注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝24－1＝23.答案23解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程．【训练2】(2011·深圳调研)在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．解析由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.答案4考向三极坐标方程的综合应用【例3】►如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．[审题视点]在圆上任取一点P(ρ0，θ0)，建立P点与P的中点M的关系即可．解设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的轨迹求法．【训练3】从极点O作直线与另一直线ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．解设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)．∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ.又M在直线ρcosθ＝4上，∴12ρcosθ＝4，∴ρ＝3cosθ.这就是点P的轨迹方程．高考中极坐标问题的求解策略从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求不尽相同．【示例1】►(2011·安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()．A．2B.4＋π29C.1＋π29D.3【示例2】►(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．