数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽)：第二章 平面解析几何初步 2.2.2 第2课时

第2课时直线的两点式和一般式方程第二章2.2.2直线方程的几种形式学习目标1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母.过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.知识点一直线方程的两点式梳理直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2＝__________________________斜率存在且不为0y－y1y2－y1x－x1x2－x1知识点二直线方程的截距式思考已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程.答案由直线方程的两点式，得y－0b－0＝x－a0－a，即xa＋yb＝1.梳理直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0__________________________________xa＋yb＝1斜率存在且不为0，不过原点思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？知识点三直线的一般式方程答案能.思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定.梳理直线的一般式方程形式_______________条件__________Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0知识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1(x1，y1)和斜率ky－y1＝k(x－x1)不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距by＝kx＋b不垂直x轴的直线两点式点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)不垂直于x，y轴的直线截距式在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般式两个独立的条件Ax＋By＋C＝0A，B不全为零y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1[思考辨析判断正误]1.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.()2.当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.()3.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()×√×题型探究例1在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC边的方程；类型一直线的两点式方程解答由两点式，得y－－4－2－－4＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).解BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解答则a＝5＋02＝52，b＝－4＋－22＝－3，所以M52，－3.又BC边的中线过点A(－3,2)，所以y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程是10x＋11y＋8＝0.解设BC的中点为M(a，b)，反思与感悟当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.跟踪训练1已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程.解∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式，可得直线AC的方程为y－1－1－1＝x－42－4，即x－y－3＝0.同理由直线方程的两点式，得直线BC的方程为y－21－2＝x－24－2，即x＋2y－6＝0.解答类型二直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.解答引申探究1.若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？解答方程为y＝25x，即2x－5y＝0，符合题意.(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x2a＋ya＝1.解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，又l过点(5,2)，∴52a＋2a＝1，解得a＝92.∴直线l的方程为x＋2y－9＝0.2.若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是”，其他条件不变，如何求解？解答92反思与感悟(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.跟踪训练2过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有A.2条B.3条C.4条D.无数多条解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－13x，当截距不为零时，设直线方程为xa＋yb＝1，答案∴满足条件的直线共有3条.故选B.解析√∴3a＋－1b＝1，|a|＝|b|，∴a＝2，b＝2或a＝4，b＝－4，即直线方程为x2＋y2＝1或x4＋y－4＝1，类型三直线的一般式方程例3设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝____；答案解析－53∴2m－6m2－2m－3＝－3，得m＝－53或m＝3(舍去).解析令y＝0，则x＝2m－6m2－2m－3，∴m＝－53.(2)若直线l的斜率为1，则m＝____.解得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.答案解析则m2－2m－32m2＋m－1＝1，解析由直线l化为斜截式方程，得y＝m2－2m－32m2＋m－1x＋6－2m2m2＋m－1，－2反思与感悟(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程注意验根.跟踪训练3直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；令y＝0，则x＝a－2a＋1.∴a－2＝a－2a＋1，解得a＝2或a＝0.解令x＝0，则y＝a－2，解答∵l在两坐标轴上的截距相等，(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解答解由(1)知，在x轴上的截距为a－2a＋1，在y轴上的截距为a－2，∴由题意得a－2a＋1≥0，a－2≤0，解得a＜－1或a＝2.∴实数a的取值范围为{a|a＜－1或a＝2}.达标检测1.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是A.30°B.60°C.150°D.120°12345答案解析√3解析因为直线的斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.2.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为A.2B.－3C.－27D.2712345答案解析由两点式得直线方程为x＋32＋3＝y－65－6，解析即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.√12345答案由此可知，直线通过第一、三、四象限.解析3.已知ab0，bc0，则直线ax＋by＝c通过A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限√解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab0，bc0，∴直线的斜率k＝－ab0，直线在y轴上的截距cb0.12345答案4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为____________.2x－y＋1＝0解析AB的中点坐标为(1,3)，解析由直线的两点式方程，可得y－35－3＝x－12－1，即2x－y＋1＝0.123455.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程.解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1.又因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，解得a＝2或3.当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限.综上所述，所求直线的方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.解答1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.规律与方法2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.②当B≠0时，得y＝－ABx－CB.(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－CB，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－CA，它表示一条与x轴垂直的直线.3.(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式.一般式化斜截式的步骤①移项，By＝－Ax－C；