数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽)：第二章 平面解析几何初步 2.3.1

2.3.1圆的标准方程第二章§2.3圆的方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考1确定圆的标准方程需要知道哪些条件？知识点一圆的标准方程答案圆心坐标与圆的半径.思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案能.梳理圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案|OA|2，|OB|2，|OC|＝2.梳理点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|r(x0－a)2＋(y0－b)2r2点M在圆内|CM|r(x0－a)2＋(y0－b)2r2[思考辨析判断正误]1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.()2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.()3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()√××题型探究命题角度1直接法求圆的标准方程类型一求圆的标准方程例1(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的标准方程为______________.答案(x－2)2＋y2＝9解析设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，解析由题意知，|2a|5＝455，解得a＝2∴C(2,0).则圆C的半径为r＝|CM|＝22＋52＝3.∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.答案(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.解析反思与感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析半径为12|AB|＝125＋32＋5＋12＝5，答案√解析∵AB为直径，∴圆心为AB的中点(1,2)，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.命题角度2待定系数法求圆的标准方程例2求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.解答反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程.解答类型二点与圆的位置关系例3(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.点P在圆内B.点P在圆外C.点P在圆上D.不确定解析解析由(m2)2＋52＝m4＋2524，得点P在圆外.答案√答案解得0≤a1.解析解析由题意知，a≥0，5a＋1－12＋a226，即a≥0，26a26，(2)已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是______.[0,1)反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可.②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练3已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是______________________.答案解析由题意知，(1－a)2＋(1＋a)24，2a2－20，即a－1或a1.解析(－∞，－1)∪(1，＋∞)类型三与圆有关的最值问题例4已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值.解原方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，解答设yx＝k，即y＝kx.故yx的最大值为3，最小值为－3.引申探究1.若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值.此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，解设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，解答最小值为－2－6.2.若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值.故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，解答(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题.解由题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，跟踪训练4已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求：(1)x2＋y2的最值；最小距离为1－12＝12，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.解答(2)x＋y的最值.解令x＋y＝z，并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，解答则|－1－z|2＝12，解得z＝±22－1，因此x＋y的最大值为22－1，最小值为－22－1.达标检测1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为12345答案A.(－1,5)，3B.(1，－5)，3C.(－1,5)，3D.(1，－5)，3√2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝112345答案设圆的圆心为C(0，b)，则0－12＋b－22＝1，解析√解析方法一(直接法)∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.12345答案解析3.已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为解析∵AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝22，A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝2C.x2＋y2＝1D.x2＋y2＝4√∴圆的标准方程为x2＋y2＝2.12345答案4.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是___.解析1解析x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为14－52＋122＝1.123455.求下列圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；解由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，解答∴圆心坐标为(4,1)，半径为r＝|AC|2＝5－32＋6＋422＝1042＝26，∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.12345(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.解由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，解答kCD＝3－11－－1＝1，CD的中点坐标为(0,2)，∴CD的垂直平分线为y＝－x＋2.则圆心坐标为(2,0)，r＝－1－22＋1－02＝10，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.规律与方法1.判断点与圆的位置关系(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线是半径.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法.(2)直接法.