函数的单调性和奇偶性

函数的单调性和奇偶性增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是逐渐上升逐渐下降一、函数的单调性增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)2．单调区间的定义:若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．1．单调函数的定义增函数减函数区间D3．函数单调性的判断方法(1)定义法①取值：；②作差：；③变形定号：；④得结论：．在给定区间上任取两值x1，x2且x1＜x2f(x1)－f(x2)对f(x1)－f(x2)变形确定符号根据③得出结论(2)复合函数法：按口诀--同增异减,进行判断．单调性的证明（3)图象法：画出f(x)图象，判断．4．单调函数的性质奇函数在对称区间具有的单调性；偶函数在对称区间具有的单调性．相同相反二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义奇偶性定义偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．函数奇偶性的判定方法首先看，再考查．注意：对能化简的解析式应．3．函数奇偶性常用结论①奇函数图象关于对称．偶函数图象关于对称．②定义域关于原点对称是函数f(x)具有奇偶性的条件．③若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)＝.定义域是否关于原点对称f(x)和f(－x)的关系先化简再判断原点必要不充分y轴0(4)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是．奇函数偶函数奇函数•奇函数•说明：根据奇偶性,偶函数•函数可划分为四类:既奇又偶函数•非奇非偶函数1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解：由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，且2a－3＜－a，解之得a＝1．12．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解：∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1．-13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|解析：y＝x＋1是非奇非偶函数，A错；y＝－x3是减函数，B错；y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C错；y＝x|x|为奇函数，当x≥0时y＝x2为增函数，由奇函数性质得y＝x|x|在R上为增函数，故选D.D4、若函数y=(1-2m)x+b在R上是减函数，求m的取值范围。5．函数y＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，求a的取值范围。210m2-1m得由34-1xaa得由6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________．解析：画出草图，由f(x)为奇函数的性质，根据x0时的f（x）图像，作出x0时的f（x）图像，然后由函数图像知：f(x)0的x的取值范围：(－1,0)∪(1，＋∞)(－1,0)∪(1，＋∞)7．已知f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈R)，若f(－2)＝－1，则f(2)的值＝_________．3解：易见f(2)＝8a－2b＋1，………①f(－2)＝－8a＋2b＋1，……②由①＋②得，f(2)＋f(－2)＝2，又f(－2)＝－1，∴f(2)＝3．例2．求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)f(x)＝)2lg(2xx。题型三、函数单调性与奇偶性应用并加以证明。）上的单调性，，）在（（）讨论函数（）判断函数的奇偶性；（的值；）求（）（，且）（已知函数例0xf32m1.01fxmxxf.3题型四、利用函数的奇偶性求解析式例4、已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式。例41[0,)2a12a变式：已知f(x)是R上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，若有f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．解：因偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，故其图象关于y轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数．又f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，根据f(x)图象性质可知：|－2a＋3|＞|2a－1|．两边平方得：(－2a＋3)2＜(2a－1)2，整理得：8＞8a，解a＜1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)．