初中数学抛物线与几何专题训练及问题详解

实用标准文档文案大全全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2yaxbxc(a≠0)；2、顶点式：y=a(x—h)2-＋k；3、交点式：y=a(x—x1)(x—x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣∣OC∣），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=23，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式OCOBOA2来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。【例2】(江苏常州)如图,抛物线24yxx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为实用标准文档文案大全A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当462682S时,求x的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x0、②当点P在第四象限是，x0这二种情况。【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（2）构建关于PB的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q落在直线OA的下方时、当点Q落在直线OA的上方时讨论。【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数yBOAPMx2x实用标准文档文案大全)0(2acbxaxy的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。【例5】（山东济南）已知：抛物线2yaxbxc(a≠0)，顶点C(1，3)，与x轴交图9yxOEDCBAGABCDOxy图10实用标准文档文案大全于A、B两点，(10)A，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断PMPNBEAD是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PAEFPBEG是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE，PMAPBEAB同理:PNPBADAB（3）证PH=BH且△APM∽△PBH再证△MEP∽△EGF可得。【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点PCOxADPMEBNy实用标准文档文案大全的坐标，只需说明理由）2、（广东肇庆）已知点A（a，1y）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线xxy1252上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有1y、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O与x轴交于AB，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2yxbxc的图象经过AB，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，，为顶点的三角形与1OOM△相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．yxOABMO1AOxyBFC实用标准文档文案大全6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc过点AED，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（苏州市）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=2，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜210，写出探索过程．AHCBy-2MODNxPyxODECFAB实用标准文档文案大全抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】(浙江杭州)（1）∵平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q,∴抛物线F对应的解析式为:btxty2)(.∵抛物线与x轴有两个交点，∴0bt.令0y,得tOBtb，tOCtb,∴tOCOB(|||||tb)(ttb)|2|t22|OAttb,即22tttb,所以当32tb时,存在抛物线F使得||||||2OCOBOA.--2分(2)∵BCAQ//,∴bt,得F:ttxty2)(,解得1,121txtx.在RtAOB中,1)当0t时,由||||OCOB,得)0,1(tB,当01t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得3t,此时,二次函数解析式为241832xxy;当01t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得t53,此时，二次函数解析式为y532x+2518x+12548.2)当0t时,由||||OCOB,将t代t,可得t53,3t,（也可由x代x，y代y得到）所以二次函数解析式为y532x+2518x–12548或241832xxy.实用标准文档文案大全【例2】(江苏常州)（1）∵4)2(422xxxy∴A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)四边形ABP3O为直角梯形时，P1(5854，)四边形ABOP4为直角梯形时，P1(51256，)（3）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x①当点P在第二象限时，x0,△POB的面积xxSPOB4)2(421∵△AOB的面积84421AOBS，∴)0(84xxSSSPOBAOB∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴22412232Sx实用标准文档文案大全∴x的取值范围是22322241x②当点P在第四象限是，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′则四边形POA′A的面积44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO∵△AA′B的面积42421BAAS∴)0(84xxSSSBAAAAPO∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴21242223Sx∴x的取值范围是21242223x【例3】（浙江丽水）（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy，∵A（2，4），∴42k,2k,∴OA所在直线的函数解析式为2yx（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴2ym（0≤m≤2）.∴顶点M的坐标为(m,2m).∴抛物线函数解析式为2()2yxmm.∴当2x时，2(2)2ymm224mm（0≤m≤2）.yBOAPMx2x（第24题）实用标准文档文案大全∴点P的坐标是（2，224mm）.②∵PB=224mm=2(1)3m，又∵0≤