数理方程复习

数理方程南京邮电大学、应用数理系数学物理方程数学角度微分积分方程偏微分方程积分方程波动方程(双曲型偏微分方程)恒定场方程(椭圆型偏微分方程)输运方程(抛物型偏微分方程)定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题。数理方程南京邮电大学、应用数理系三类基本方程在直角坐标系中的表示一、波动方程222()ttxxyyzzuauauuu二、热传导方程222()txxyyzzuauauuu三、拉普拉斯方程20=0xxyyzzuuuu即数理方程南京邮电大学、应用数理系定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。定解问题＝泛定方程+定解条件边界条件确定本征值和本征函数要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却等）以及初始条件的表述方法。初始条件确定级数叠加系数数理方程南京邮电大学、应用数理系fcuububuauauayxyyxyxx2122121121、线性二阶偏微分方程的一般形式0f该方程为齐次的0f该方程为非齐次的数学物理方程的分类02211212aaa方程为双曲型02211212aaa方程为抛物型02211212aaa方程为椭圆型数理方程南京邮电大学、应用数理系行波法一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题1211[()()](,)()()()22xatxatxuxtfxatfxatatxatda——达朗贝尔公式)()()(00xxuxuttt数理方程南京邮电大学、应用数理系对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为两个方向传播出去，波速为，也即:a)(1atxfax以速度沿负方向移动的行波2()fxatax以速度沿正方向移动的行波通解的物理意义：12(,)()()uxtfxatfxat数理方程南京邮电大学、应用数理系三维达朗贝尔公式物理意义：（1）空间任一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上初始状态决定；（2）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。数理方程南京邮电大学、应用数理系二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy其特征方程为：22()2()0AdyBdxdyCdx其特征方程的解即为特征线方程：03222dxdxdydy13Cyx2Cyx(3)0dydxdydx如数理方程南京邮电大学、应用数理系双曲型方程过其中每一点有两条不同的实的特征线椭圆型方程过其中每一点不存在实的特征线抛物型方程过其中每一点有一条实的特征线三、傅里叶级数)sincos()(10lxnblxnaaxfnnndxxflall)(2100,cos)(1kdxlxnxflallkdxlxnxflbllksin)(1数理方程南京邮电大学、应用数理系()()d1()()d2ixixFfxexfxFe傅里叶变换式傅里叶逆变换式复数形式的傅里叶变换数理方程南京邮电大学、应用数理系基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。分离变量(傅立叶级数)法要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。数理方程南京邮电大学、应用数理系解题步骤:边界是否齐次YN写出本征值、本征函数、待求物理量的傅立叶级数展开式边界齐次化写出定解问题方程非齐次项和初值条件的级数展开代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值写出解的表达式和系数数理方程南京邮电大学、应用数理系边界齐次化（考点）),(),(),(txwtxvtxu)(),()(),0()()(),()(),()(),0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttu)(),()(),0()()(),()(),()(),0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx数理方程南京邮电大学、应用数理系)(),()(),0()()(),()(),()(),0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx21122(,)()()(0,)()(0,)()(,)()(,)()xxxxwxtAtxBtxuttwttulttwltt数理方程南京邮电大学、应用数理系边界条件（四种）：200,()sin,1,2,0xnxlunnXxAxnllu200,()cos,0,1,2,0xxnxxlunnXxAxnllu20021(21),()sin,0,1,2,220xnxxlunnXxAxnllu20021(21),()cos,0,1,2,220xxnxlunnXxAxnllu''0XX数理方程南京邮电大学、应用数理系2''()()0''()()0XxXxTtaTt波动方程：20ttxxuau()'cos'sinnnnTtCatDat热传导方程：20txxuau2''()()0'()()0XxXxTtaTt222''()nnatatnnnTtCeCe数理方程南京邮电大学、应用数理系拉普拉斯方程：1、矩形区域：0xxyyuu0XX0YYyannyannneDeCY2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：22222110uuurrrr2'''0''0rRrRR''()()0,()(2),,3,2,1,0,2nnncossinnnnAnBn数理方程南京邮电大学、应用数理系2'''0,(0).rRrRRR若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。000=0ln,Rcdr当时，2=nnnnnnRcrdr当时,满足有界性条件的通解为：nnnRcr0,1,2,,n0,0,1,2ndn(0).R在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边的系数，达到化简叠加系数的目的.数理方程南京邮电大学、应用数理系求解非齐次方程—特征函数法22222(,),0,0(0,)(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuafxtxlttxutulttuxuxxxxlt2222222222(,),0,0,(0,)(,)0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)(,0)(),()(,0)0,0,WWVVaafxtxlttxtxWtWltVtVlttWxVxWxxxVxxltt(,)(,)(,)uxtVxtWxt数理方程南京邮电大学、应用数理系22222(,),0,0,(0,)(,)0,0,(,0)(,0)0,0,VVafxtxlttxVtVlttVxVxxlt将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：1()sinnnnVvtxl令：若表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦形式，不用展开，否则，也需要按W的本征函数展开。(,)fxt(,)fxt(,)fxt数理方程南京邮电大学、应用数理系将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。2222''()()()(0)0,'(0)0nnnnnnavtvtftlvv()nvtd)(sin)(0tlanfanltn本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。数理方程南京邮电大学、应用数理系格林函数主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程1、熟记第一格林公式和第二格林公式()()vuvdVuvdVudSn----第一格林公式()vuuvdSnn()uvvudV----第二格林公式数理方程南京邮电大学、应用数理系2拉普拉斯方程的钮曼问题有解的必要条件fnu|0fdS3拉普拉斯方程解的唯一性问题结论狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的；钮曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.4、三维拉普拉斯方程的基本解.1vr或14vr222000()rxxyyzz数理方程南京邮电大学、应用数理系（2）、二维拉普拉斯方程的基本解.1lnvr2200()rxxyy使用镜像法求上半空间内的格林函数dsnGuMu)(0),,(),,(,0zyxfuzyxu在狄利克雷问题中dSnGzyxfMu),,()(0数理方程南京邮电大学、应用数理系zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM010111,4MMMMGMMrr为上半空间的格林函数.0z||,GGnz0010111(,)()4MMOMMMRGMMrrr球域内的格林函数：具体内容参见课件上相关例题。数理方程南京邮电大学、应用数理系贝塞尔函数0'222PnPP在讨论圆盘区域内瞬时温度分布问题中遇到的n阶贝塞尔方程做代换,r0'222rFnrrFrrFrn阶贝塞尔方程的标准形式.熟记！熟记！数理方程南京邮电大学、应用数理系22222()0dydyxxxnydxdx贝塞尔函数的级数解法ksksskkskxaxaxaxaxy1100)(1210nan210ma221112!1mmnmamnmn阶贝塞尔方程的一个特解201()!12mnmnmxJxmnm熟记！数理方程南京邮电大学、应用数理系201()!12mnmnmxJxmnm或当n不为整数时,和线性无关．xJnxJnn阶贝塞尔方程的通解为xBJxAJynnnxJnxJxYnnnsincosxDYxCJynn另两个特解数理方程南京邮电大学、应用数理系20111()!!2nmmnmxmnmJx当n为整数时，有：当n为整数时,与线性相关xJnxJnn阶贝塞尔方程通解只可写为xDYxCJynn贝塞尔函数的性质：1有界性)(xJn)(xYn0x)0(nY数理方程南京邮电大学、应用数理系n为偶数时，为偶函数)(xJnn为奇数时，为奇函数)(xJn性质2奇偶性()nYx()nYx性质3递推性（大题考点）1d()()dnnnnxJxxJxx1d()()