4.4 实对称矩阵的对角化

上页下页返回方阵与对角阵相似的条件n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)=n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量=对于n阶矩阵A的每个特征值i,有i作为特征值的重数等于对应于i的线性无关的特征向量的个数或i作为特征值的重数等于n－R(A－iE).=n阶矩阵A的n个特征值互不相等复习§44实对称矩阵的对角化一个n阶方阵可以对角化是有条件的,比如有n个线性无关的特征向量.也就是说并非所有n阶方阵都能对角化但任何实对称矩阵都是可以对角化的§44实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对角阵的方法上页下页返回定理4.1实对称阵的特征值为实数设复数为实对称阵A的特征值复向量x0为对应于的特征向量即Axx证有故x右乘上式有两式相减得0)(xxT但因x0所以0||121niiniiiTxxxxx故0即这就说明是实数故0即这就说明是实数一、实对称矩阵的性质AxxxAxAx.xAxTxTTAxxTTxATxA于是有.TxTxA.TTxAxxx.TTxAxxx而左乘Axx有Tx上页下页返回显然当特征值i为实数时齐次线性方程组(AiE)x0是实系数方程组由|AiE|0知必有实的基础解系所以对应的特征向量可以取实向量定理4.1实对称阵的特征值为实数一、实对称矩阵的性质上页下页返回定理4.2实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.设12是实对称阵A的两个特征值p1p2是对应的特征向量若12则p1与p2正交证明已知Ap11p1Ap22p212因为A对称故p1TAp1TAT(Ap1)T(1p1)T1p1T,于是p1TAp2=1p1Tp22p1Tp2即(12)p1Tp20但12即p1与p2正交故定理4.1实对称阵的特征值为实数一、实对称矩阵的性质p1Tp20p1TAp2p1T2p2上页下页返回定理4.2实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.设12是实对称阵A的两个特征值p1p2是对应的特征向量若12则p1与p2正交定理4.1实对称阵的特征值为实数一、实对称矩阵的性质定理4.4设A为n阶实对称阵则必有正交阵P使P1APPTAP其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵定理4.3设A为n阶实对称阵是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量上页下页返回例4.1设求正交阵P使P1AP为对角阵011101110A方阵P为正交阵的充分必要条件方阵P为正交阵PTPEPPTEP1PTP的列向量都是两两正交的单位向量P的行向量都是两两正交的单位向量上页下页返回例4.1设求正交阵P使P1AP为对角阵011101110A解由|AE|(1)2(2)将1单位化得T)1,1,1(311p2(110)T3(101)T将23正交化、单位化得T)0,1,1(212pT)2,1,1(613p得特征值12231得基础解系1(111)T对应12解方程(A2E)x0对应231解方程(AE)x0得基础解系即x1+x2－x30于是P(p1p2p3)为正交阵并且P1AP21.1上页下页返回实对称矩阵对角化的步骤(1)求出A的全部互不相等的特征值12s它们的重数依次为k1k2ks(k1k2ksn)(2)对每个ki重特征值i求方程(AE)x0的基础解系得ki个线性无关的特征向量再把它们正交化、单位化得ki个两两正交的单位特征向量因k1k2ksn故共可得n个两两正交的单位特征向量(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P便有P1APPTAP注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法上页下页返回习题4-3,P1544设矩阵与相似求xy并求一个正交阵P使P1AP提示：相似矩阵的特征值相同、行列式相等.1+x+1=5+y+(－4)；|A|=||.|A+4E|=0或|A－5E|=0.=x412422421xA54y=y5上页下页返回例4.2设求正交阵P使P1AP为对角阵解由|AE|(+1)(2)(5)得特征值1122,35得基础解系1对应11解方程(A+E)x0120222023A得基础解系2对应22解方程(A2E)x0得基础解系3对应35解方程(A5E)x0于是1,2,3正交,由于1,2,3是实对称阵的对应于不同特征值的特征向量,则P(p1p2p3)为正交阵并且P1AP12.5所以只要单位化即可得p1p2p3上页下页返回习题4-4,P1595设3阶对称阵A的特征值为112130对应1、2的特征向量依次为p1(a2a11)Tp2(a113a)T求A提示：由[p1p2]=0，得a=0或1．由[p1p3]=0,[p2p3]=0，得p3．令P(p1p2p3)则P1APdiag(110)于是APP1=？二法:把p1p2p3正交化、单位化，得e1e2e3.令P(e1e2e3)则P1APdiag(110)于是APP1=PPT=？一法:上页下页返回提示例4.2设求An2112A因为A对称故A可对角化即有可逆向量P及对角阵解从而AnPnP1于是APP1使P1AP因为|AE|(1)(3)对应11解方程(AE)x0对应13解方程(A3E)x0于是有可逆矩阵P(p1p2)及diag(13)使P1AP从而或APP1AnPnP1所以A的特征值为1123得p1(11)T得p2(11)T上页下页返回提示nnnnn313131312111113001111121例4.2设求An2112A解因为|AE|(1)(3)对应11解方程(AE)x0对应13解方程(A3E)x0P1AP从而或APP1AnPnP1所以A的特征值为1123得p1(11)T得p2(11)T于是有可逆矩阵P(p1p2)及diag(13)使nnnnn3131313121111130011111211111),(21ppP1111211Pnn30011111),(21ppP1111211Pnn30011111),(21ppP1111211Pnn3001上页下页返回定理4.2实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.设12是实对称阵A的两个特征值p1p2是对应的特征向量若12则p1与p2正交定理4.1实对称阵的特征值为实数小结:实对称矩阵的性质定理4.4设A为n阶实对称阵则必有正交阵P使P1APPTAP其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵定理4.3设A为n阶实对称阵是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量上页下页返回实对称矩阵对角化的步骤(1)求出A的全部互不相等的特征值12s它们的重数依次为k1k2ks(k1k2ksn)(2)对每个ki重特征值i求方程(AE)x0的基础解系得ki个线性无关的特征向量再把它们正交化、单位化得ki个两两正交的单位特征向量因k1k2ksn故共可得n个两两正交的单位特征向量(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P便有P1APPTAP注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应小结:利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法上页下页返回P159:3(1),4,5作业