37-第37讲线性微分方程解的结构

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十讲一元微积分的应用(六)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中——微积分在物理中的应用第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),,(yxfy),,(yyfy了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第四节二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为)()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn0)(阶齐线性微分方程；时，称为当nxf0)(阶非齐线性微分方程；时，称为当nxf),,2,1()(数方程；均为常数时，称为常系当nixpi),,2,1()(系数方程。不全为常数时，称为变当nixpi二阶线性微分方程的一般形式为)()()(。xfyxqyxpy:0)(时，方程称为齐方程当xf0)()(。yxqyxpy)1()2(通常称(2)为(1)的相对应的齐方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理是二阶齐线性微分方程和若)()(21xyxy0)()(yxqyxpy的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc也是方程(2)的解，)2()(21。不一定相互独立为任意常数、其中cc你打算怎么证明这个原理？证)2()()()(2211中，得，代入方程令xycxycxy))()()(())()((22112211xycxycxpxycxyc))()()((2211xycxycxq))()()(())()((22112211xycxycxpxycxyc))()()((2211xycxycxq))()()()()((1111xyxqxyxpxyc))()()()()((2222xyxqxyxpxyc000，)2()()()(2211的解。为方程即xycxycxy0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn).,2,1()(阶齐线性微分方程是若nnixyi的解，则它们的线性组合niiixycxy1)()(也是方程(2)的解。)(),,2,1(。不一定相互独立为任意常数其中nici)2(推广在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？(2)线性无关、线性相关)()(21上有定义。在区间、设函数Ixyxy21，使得和若存在不全为零的常数cc0)()(2211，Ixxycxyc)()(21上是线性相关的。在区间与则称函数Ixyxy)()(21上是线性无关的。在区间与否则称函数Ixyxy时，才有当且仅当021cc0)()(2211，Ixxycxyc)()(21上线性无关。在区间与则Ixyxy例证sincos线性无关的。在任何一个区间上均为与证明：xxsincos全为零上线性相关，则存在不在某区间与若Ixx)0(221，使不妨设，的常数ccc0sincos21，Ixxcxctan21。即Ixcccx由三角函数知识可知，这是不可能的，故sincos线性无关的。在任何一个区间上均为与xx例证1sincos22线性相关的。在任何区间上均为与证明：xx),(121时，有，则当取xcc01sincos)1(sincos222221，xxxcxc1sincos22线性相关的。在任何区间上均为与故xx朗斯基(Wronsky)行列式)()(21上有定义，且有一阶在区间、设函数Ixyxy)()()()()](),([212121xyxyxyxyxyxyW)()(21上的朗斯基行列式。在区间、称为函数Ixyxy导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到n个函数的情形。0)](),([21，若IxxyxyW)()(21上线性无关。在，则函数Ixyxy例)2,0(1cossinsincos]sin,[cos。xxxxxxxW)2,0(sincos上线性无关。在区间与故xx(3)二阶齐线性微分方程解的结构定理1)()(21是二阶齐线性方程、若xyxy(2)0)()(yxqyxpy的两个线性无关的解，则)()()(2211xycxycxy是方程(2)的通解。0)()()(，则方程若xqxpxh0)()()(yxqyxpyxh。必有一解xey定理2)()(，即可得证。的特点：由函数xxxxeeee例解0)1(的通解。求方程yyxyx01)1(，所以，因为xxxey是原方程的一个解。又容易看出：也是原方程的一个解。xy而)1(1],[，xeeexexWxxxx0],[1线性无关。与，从而，，故由题意xxexexWx由叠加原理，原方程的通解为21。xeCxCy)()(21线性无关、xyxy)()(21常数xyxy问题：0)()()(1的一个解，是方程如果已知yxqyxpyxy?)()(21xyxy线性无关的解如何求出方程的一个与该问题的解决归功于数学家刘维尔。0)()()(1的一个非零解。是方程如果已知yxqyxpyxy),()()()()(1212则线性无关的解：是方程的与若xcxyxyxyxy)()()(12，xyxcxy代入方程中，得0)()())(2()())()((111111。xcyxcyxpyxcyxqyxpy1是方程的解，故得因为y0)()())(2(111。xcyxcyxpy)(xc关键是求出怎么做？)(，则有令xcz0))(2(111。zyxpyzy关于z的一阶线性方程即0)(2111。zyyxpyz故有1)(d)(2d)(2111，xxpxyyxpyeyexcz两边积分，得d1)(d)(2，xeyxcxxp)(1线性无关的解与xyd)()()()(2d)(112。xyexyxyxcxyxxp0)()(的通解为从而，方程yxqyxpy)()(2211。xyCxyCy关于z的一阶线性方程刘维尔公式0)()()(1的一个非零解，是方程若yxqyxpyxyd)()(2d)(12xyexyxyxxp)(1线性无关的解，且是方程的与xy)()(2211xyCxyCy为原方程的通解。则例解02的通解。求方程yyy0121，所以，方程有解因为系数满足：)(1。xexy由刘维尔公式d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy故原方程的通解为)(2121。xCCeexCeCyxxx2.二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质性质1是方程若)(*xy)()()(xfyxqyxpy)(1是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的一个特解，则)(*)(1xyxyy是原方程的一个特解。性质2是方程若)(1xy)()()(1xfyxqyxpy)(2是方程的一个特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy的一个特解，则)()(21xyxyy是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy的一个特解。性质3是方程与若)()(21xyxy)()()(xfyxqyxpy的任意两个特解，则)()(21xyxyy是其对应的齐方程0)()(yxqyxpy的一个特解。性质4是方程若)(i)(*21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy)()()(1xfyxqyxpy的一个特解。)(1是方程的一个特解，则xy)(2是方程的一个特解；xy)()()(2xfyxqyxpy*Re1yy实部*mI2yy虚部可以直接验证性质1——性质4。如何求特解？定理3是方程若)(*xy)()()(xfyxqyxpy)(是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的通解，则)(*)(xyxyy是方程(1)的通解。)1()2(由性质1以及通解的概念立即可以得知该定理成立。)(*)()()(xyxfyxqyxpy的特解求方程常数变易法常数变易法)(*)()()(xyxfyxqyxpy的特解求方程常数变易法)()()(2211是齐方程的通解：设xyCxyCxy0)()(。yxqyxpy)2()()(2211为待定的可微函数。，令xCCxCC)()()()()(2211是非齐方程的解：设xyxCxyxCxy)()()(，xfyxqyxpy)1(则有)()()()()()()()(22221111，xyxCxyxCxyxCxyxCy令0)()()()(2211，xyxCxyxC)3(以下推导的前提于是)()()()(2211。xyxCxyxCy对上式两边关于x求导，得)()()()()()()()(22221111。xyxCxyxCxyxCxyxCy)1(式，得的表达式代入、、将yyy)()()()()()()()(22221111xyxCxyxCxyxCxyxC)]()()()()[(2211xyxCxyxCxp)()]()()()()[(2211xfxyxCxyxCxq这两部分为零。即)()()()()(2211。xfxyxCxyxC)4(联立(3)、(4)构成方程组0)()()()(2211，xyxCxyxC)()()()()(2211。xfxyxCxyxC)(2，则和xC解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到)(1xC)()()()()(*2211xyxCxyxCxy)()()(的一个特解。为方程xfyxqyxpy例解22的通解。求方程xxeyyy该方程所对应的齐方程为02。yyy它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为21。xxexCeCy由常数变易法，解方程组0)()(21，xxxexCexC2))(()(21。xxxxexexexCexC21xxexyey)1()2()1()2(，得2)(2，xxC两边积分，取积分常数为零，得)(22。xxC)1(式，得代入2)(21，xxC两边积分，取积分常数为零，得32)(31。xxC故原方程有一特解3132)()(*3232211，xxxexxexexyxCyxCy从而，原方程的通解为31*321。xxxexxeCeCyyy0)()(21xxxexCexC在这一节中所讲述的理论均可推广到n阶线性微分方程中去。参考书：北京大学、复旦大学、中山大学等编写的《常微分方程》教材谢谢观看！