高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法第1页共6页轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC△中，24BCACAB，，上的两条中线长度之和为39，求ABC△的重心的轨迹方程．解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BMCM．M∴点的轨迹是以BC，为焦点的椭圆，其中1213ca，．225bac∴．∴所求ABC△的重心的轨迹方程为221(0)16925xyy．二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)AB，，，，动点()Pxy，满足2PAPBx·，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题知(2)PAxy，，(3)PBxy，，由2PAPBx·，得22(2)(3)xxyx，即26yx，P∴点轨迹为抛物线．故选D．三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC的顶点(30)(10)BC，，，，顶点A在抛物线2yx上运动，求ABC△的重心G的轨迹方程．解：设()Gxy，，00()Axy，，由重心公式，得003133xxyy，，00323xxyy，①∴．②又00()Axy，∵在抛物线2yx上，200yx∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)yxy，即所求曲线方程是2434(0)3yxxy．四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且(20)A，，(20)B，，2AD，1()2AEABAD．（1）求E点轨迹方程；（2）过A作直线交以AB，为焦点的椭圆于MN，两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()Exy，，由1()2AEABAD知E为BD中点，易知(222)Dxy，．又2AD，则22(222)(2)4xy．即E点轨迹方程为221(0)xyy；（2）设1122()()MxyNxy，，，，中点00()xy，．由题意设椭圆方程为222214xyaa，直线MN方程为(2)ykx．轨迹方程的经典求法第2页共6页∵直线MN与E点的轨迹相切，2211kk∴，解得33k．将33y(2)x代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630axaxaa，2120222(3)xxaxa∴，又由题意知045x，即2242(3)5aa，解得28a．故所求的椭圆方程为22184xy．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来例4：已知线段2AAa，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点PP，，使其满足4OPOP·，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程．解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系．设点(0)(0)Ptt，，则由题意，得40Pt，．由点斜式得直线APAP，的方程分别为4()()tyxayxaata，．两式相乘，消去t，得222244(0)xayay．这就是所求点M的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy二、填空题3.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.轨迹方程的经典求法第3页共6页三、解答题5.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.轨迹方程的经典求法第4页共6页7.已知双曲线2222nymx=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.轨迹方程的经典求法第5页共6页参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得答案：C二、3.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案：)4(1316162222axayax4.解析：设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2，即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),轨迹方程的经典求法第6页共6页则A1P的方程为：y=)(11mxmxy①A2Q的方程为：y=－)(11mxmxy②①×②得：y2=－)(2222121mxmxy③又因点P在双曲线上，故).(,12212221221221mxmnynymx即代入③并整理得2222nymx=1.此即为M的轨迹方程.(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±22nm,0)，准线方程为x=±222nmm,离心率e=mnm22；(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±22nm),准线方程为y=±222mnn,离心率e=nmn22.8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=21|OA|·|OB|·sinAOB=22asinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|=21|2|kak.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，.33,2245cos1|2|||||2kkaakOAOC