《圆锥曲线解题十招全归纳》

微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804941《圆锥曲线解题十招全归纳》微信公众号:中学数学研讨部落招式一：弦的垂直平分线问题.............................................................................2招式二：动弦过定点的问题.................................................................................4招式四：共线向量问题.........................................................................................6招式五：面积问题...............................................................................................13招式六：弦或弦长为定值、最值问题...............................................................16招式七：直线问题...............................................................................................19招式八：轨迹问题...............................................................................................23招式九：对称问题...............................................................................................30招式十、存在性问题...........................................................................................33微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804942招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk解得3913k满足②式此时053x。【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，进而可求出AB微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804943的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0xy上可求出1b，∴220xx，由弦长公式可求出221114(2)32AB．微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804944招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy（II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122(2)44ykxxy消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121yyyyxxxx，令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t故当433t时，MN过椭圆的焦点。招式三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804945解：(I)2BCAC，且BC过椭圆的中心OOCAC0ACBC2ACO又A(23,0)点C的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点，23a，则椭圆方程为：222112xyb将点C(3,3)代入方程，得24b，椭圆E的方程为221124xy(II)直线PC与直线QC关于直线3x对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：3(3)ykx，即3(1)ykxk，由223(1)3120ykxkxy消y，整理得：222(13)63(1)91830kxkkxkk3x是方程的一个根，229183313Pkkxk即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk＝()23PQkxxk＝2123(13)kk2222918391833(13)3(13)PQkkkkxxkk＝2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线PQ的斜率为定值13。微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804946招式四：共线向量问题1：如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围.解：（1）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca∴曲线E的方程为.1222yx（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设),,(),,(2211yxHyxG)2(216213),1(21821422212221kkxxkkkkxx则)2,()2,(,2211yxyxFHFG又,,2121xxxx，)21(332)21(33221)2()1(2222kkk.331.316214.316)21(3324,2322解得kk.131,10又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率为255.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804947M点，若1MAAF，2MBBF，求证：1210.解：设椭圆C的方程为22221xyab（a＞b＞0）抛物线方程化为24xy，其焦点为(0,1)，则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即1b由222255cabeaa，∴25a，椭圆C的方程为2215xy（2）证明：右焦点(2,0)F，设11220(,),(,),(0,)AxyBxyMy，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，代入方程2215xy并整理，得2222(15)202050kxkxk∴21222015kxxk，212220515kxxk又110(,)MAxyy，220(,)MBxyy，11(2,)AFxy，22(2,)BFxy，而1MAAF，2MBBF，即110111(0,)(2,)xyyxy，220222(0,)(2,)xyyxy∴1112xx，2222xx，所以121212121212122()2102242()xxxxxxxxxxxx3、已知△OFQ的面积S=26,且mFQOF。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，2)146(,||cmcOF，当||OQ取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为12222byax，Q（x0,y0）。),(00ycxFQ，S△OFQ=62||||210yOF，∴cy640。),)(0,(00ycxcFQOF=c(x0－c)=cxc46)146(02。,329683222020ccyxOQ当且仅当)6,6()6,6(,||,4,968322或此时最小时即QOQccc，微信公众号:中学数学研讨部落QQ群428804948所以1124.1241616622222222yxbababa故所求的双曲线方程为。类型1——求待定字母的值例1设双曲线C：)0(1222ayax与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=PB125，求a的值