中考数学知识点(函数及其图象)

6.函数及其图象（分类）6.1.平面直角坐标系（包含题目总数：8）005010；005020；005030；005040；005050；005190；005300；005670；6.1.1.平面直角坐标系如图，在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，编号如下图所示．注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限．坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的．也就是说坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．在这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其它区域之间均没有公共点．6.1.2.点的坐标的概念点的坐标用ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，ba,和ab,是两个不同点的坐标．注意：数轴上的点与实数是一一对应的，而对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；对于任意的一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的点M和它对应．也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．6.1.3.不同位置的点的坐标的特征各象限内点的坐标有如下特征(如右图所示)：点P(x，y)在第一象限x0，y0．点P(x，y)在第二象限x0，y0．点P(x，y)在第三象限x0，y0．点P(x，y)在第四象限x0，y0．坐标轴上的点有如下特征：点P(x，y)在x轴上y为0，x为任意实数．点P(x，y)在y轴上x为0，y为任意实数．点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x、y同时为零，即点P坐标为0,0．两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x，y)在第一、三象限的夹角平分线上x与y相等．点P(x，y)在第二、四象限的夹角平分线上x与y互为相反数．和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点：位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标特征：点P与点'P关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P与点''P关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．点P与点'''P关于原点对称横、纵坐标均互为相反数．6.1.4.点到坐标轴及原点的距离点,Pxy到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P(x，y)到x轴的距离等于|y|；(2)点P(x，y)到y轴的距离等于|x|；(3)点P(x，y)到原点的距离等于22yx．6.2.函数（包含题目总数：6）005060；005070；005080；005090；005100；005110；6.2.1.函数及其相关概念在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的．一般的，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式vt，2x-1，22xx，x1，3x等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法．使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x=a时的函数值，简称函数值．注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程．(3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．6.2.2.函数的三种表示法及其优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来．2、列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律．3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．6.3.函数的图象（包含题目总数：1）005120；函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．由函数解析式画其图象的一般步骤：1、列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；2、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来．函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点yxP,中的x，y是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然．注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组．6.4.一次函数（包含题目总数：22）005130；005140；005150；005160；005170；005180；005200；005210；005220；005230；005240；005250；005260；005270；005280；005290；005310；005320；005330；005340；005350；005450；6.4.1.正比例函数和一次函数的概念一般的，如果bkxy(bk,是常数，0k)，那么y叫做x的一次函数．特别的，当一次函数bkxy中的b为0时，kxy(k为常数，0k)．这时，y叫做x的正比例函数．一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数．注意：若0k，则by(b为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示：6.4.2.正比例函数和一次函数的图象和性质一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数bkxy的图象，也称作直线bkxy．一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数bkxy的图象是经过点(0，b)的直线；正比例函数kxy的图象是经过原点(0，0)的直线．注意：点(0，b)是直线bkxy与y轴的交点．当b0时，此交点在y轴的正半轴上；当b0时，此交点在y轴的负半轴上；当0b时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．因为一次函数解析式bkxy中的b决定直线bkxy与y轴交点的位置，所以通常把b叫做直线bkxy在y轴上的截距．正比例函数的性质:一般的，正比例函数kxy有下列性质：(1)当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；(2)当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．一次函数的性质:一般的，一次函数bkxy有下列性质：(1)当k0时，y随x的增大而增大；(2)当0k时，y随x的增大而减小．6.4.3.两条直线的位置关系设直线1l和2l的解析式为11bxky和22bxky，则它们的位置关系可由其系数确定：相交与2121llkk；平行与212121llbbkk；重合与212121llbbkk．6.4.4.正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy(0k)中的常数k．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式bkxy(0k)中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中的未知数系数也称为待定系数．如正比例函数kxy中的k，一次函数bkxy中的k和b，都是待确定的系数．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式．6.5.二次函数（包含题目总数：39）005430；005460；005470；005480；005510；005520；005530；005550；005560；005580；005590；005600；005610；005620；005640；005650；005660；005680；005690；005700；005710；005720；005730；005740；005750；005760；005770；005780；005790；005800；005810；005820；005830；005840；005850；005860；005870；005880；005890；6.5.1.二次函数的概念一般的，如果)0,,,(2acbacbxaxy是常数，那么，y叫做x的二次函数．注意：(1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成)0,,,(2acbacbxaxy是常数的形式，因此，把)0,,,(2acbacbxaxy是常数叫做二次函数的一般式．(2)二次函数)0(2acbxaxy与一元二次方程)0(02acbxax有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了．(3)二次函数cbxaxy2的结构特征是：等号右边是关于自变量x的二次多项式．二次函数常用的表达式为：(1)一般式：cbxaxy2(0a)．(2)顶点式：khxay2)((0a)，其中abackabh44,22．(3)两根式：)0)()((21axxxxay，其中21,xx是抛物线与x轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．6.5.2.二次函数的性质和图象二次函数的图象是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线．抛物线的几个主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点．画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点；当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象．