《我的童年》季羡林

12003-2012年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编专题5：函数的图像与性质一、选择题1.(江苏省无锡市2010年3分)若一次函数ykxb，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值【】A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2【答案】A。【考点】一次函数的性质。【分析】∵当x的值减小1，x变成x–1，y的值就减小2，则y变为y–2，∴y–2=k(x–1)+b，整理得，y–2=kx–k+b，而y=kx+b，∴kx+b–2=kx–k+b．解得k=2。∴一次函数为y=2x+b。当x的值增加2时，即x变为x+2，故y′=2(x+2)+b=2x+4+b=2x+b+4=y+4，∴y增加了4。故选A。2.(江苏省无锡市2010年3分)如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线kyx交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值【】A．等于2B．等于34C．等于245D．无法确定【答案】B。【考点】反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义。因此，2延长BC交y轴与M点，过D作DN⊥x轴于N。由题意易知，四边形OABM为矩形，且S△OBM=S△OBA由k的几何意义知，S△COM=S△DON，∴S四边形DNAB=S△BOC=3而△ODN∽△OBA，相似比为OD：OB=1:3，∴S△ODN：S△OBA=1:9。∴S△ODN：S四边形DNAB=1:8。∴S△ODN=38，∴k=34。故选B。3.(江苏省无锡市2011年3分)下列二次函数中，图象以直线2x为对称轴、且经过点(0，1)的是【】A．221yxB．221yxC．223yxD．223yx【答案】C．【考点】二次函数图象的性质，点的坐标与方程的关系。【分析】根据二次函数对称轴的概念知二次函数为A、C之一；又根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点(0，1)的坐标分别代入A、C，使等式成立的即为所求。故选C．4.(江苏省无锡市2011年3分)如图，抛物线21yx与双曲线kyx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式210kxx的解集是【】A．x1B．x－1C．0x1D．－1x0【答案】D．【考点】点的坐标与方程的关系,不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。【分析】由抛物线21yx与双曲线kyx的交点A的横坐标是1,代入21yx可得交点A的纵坐标是2。把(1，2)代入kyx可得=2k。从而222101kxxxx。则求不等式210kxx的解集等同于问当x为何值时函数2=yx图像在函数2=1yx图像下方。由二次函数图像性质知，函数2=1yx图3像开口向下，顶点在（0，－1），与2=yx图像的交点横坐标是－1。故当－1x0时，函数2=yx图像在函数2=1yx图像下方，从而关于x的不等式210kxx的解集是－1x0。．5.（2012江苏无锡3分）若双曲线ky=x与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为【】A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标：y=﹣2+1=﹣1，从而，将该交点坐标代入ky=x即可求出k的值：k=﹣1×（﹣1）=1。故选B。二、填空题1.（江苏省无锡市2004年2分）若函数kyx的图象经过点（－1，2），则k的值是▲。【答案】－2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式kyx（k≠0）即可求得k的值：∵函数kyx的图象经过点（－1，2），∴k21，得k=－2。2.（江苏省无锡市2005年2分）反比例函数kyx的图象经过点（2，－1），则k的值为▲.【答案】－2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式kyx（k≠0）即可求得k的值：∵函数kyx的图象经过点（2，－1），∴k12，得k=－2。3.（江苏省无锡市2006年2分）函数3yx的图象经过点（－l，a），4则a＝▲_。【答案】3。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－l，a）代入3yx求解即可：∵函数3yx的图象经过点（－l，a），∴3a=31。4.（江苏省无锡市2007年2分）反比例函数ayx的图象经过点（－1，2），则a的值为▲．【答案】a=2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，2）代入ayx求解即可：∵函数ayx的图象经过点（－1，2），∴a21，解得a=2。5.（江苏省无锡市2008年2分）若反比例函数kyx的图象经过点（12，），则k的值为▲．【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，－2）代入kyx求解即可：∵函数kyx的图象经过点（－1，－2），∴k21，解得k=2。6.（江苏省无锡市2008年2分）已知平面上四点A(00)，，B(100)，，C(106)，，D(06)，，5直线ymx3m2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为▲．【答案】12。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，梯形的面积。【分析】如图，设直线ymx3m2与AB、CD分别交于点P、Q。当y0时，3m2x=m，∴P（3m2m，0）。当y6时，3m4x=m，∴Q（3m4m，6）。∴AP=3m2m，BP=10－3m27m2mm，DQ=3m4m，CQ=10－3m47m4mm。由APQDPBCQSS得APDQCQBPADBC22，由于AD=BC，∴APDQ=CQBP，即3m23m47m47m2=mmmm，解得1m=2。7.（江苏省2009年3分）反比例函数1yx的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数=0kykx的性质：当0k＞时，图象分别位于第一、三象限；当0k＜时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数1yx的系数=10k，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。8.（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）62+1。又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。三、解答题1.（江苏省无锡市2003年10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC－S△OBC＝OA·OB）.⑴求b的值；⑵若tan∠CAB＝12，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为134？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设A（x1，0）、B（x2，0），由题设可求得C点的坐标为（0，c），且x1＜0，x2＞0。∵a＜0，∴c＞0。由S△OAC－S△OBC＝OA·OB，得：121211xcxcxx22，即12121cxxxx2。∴1bcc2aa。∴b=－2。（2）存在。理由如下：设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N∵tan∠CAB=12，∴OA=2•OC=2c。∴A点的坐标为（－2c，0）。∵A点在抛物线上，∴将x=－2c，y=0代入y=ax2－2x＋c，得5a4c。又∵x1、x2为方程ax2－2x＋c=0的两根，∴122xxa，即2282cxca5。∴22xc5。7∴B点的坐标为(2c5，0)。∴顶点P的坐标为（49cc55，）。由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN又∵12ABc5，∴AM=BM=6c5，PM=9c5。若△PAB的外接圆半径为134，则直径PN=132，MN=132－9c5。∴269139ccc5525（）（），解得5c2，∴1a2。∴所求抛物线的函数解析式是：215yx2x22。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理。【分析】（1）可根据S△OAC－S△OBC＝OA·OB来求解，先用OA、OC、OB的长，表示出△OAC、△OBC的面积，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出b的值。（2）先根据tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的长，即可得出A点的坐标，将A的坐标代入抛物线的解析式中，可将抛物线解析式中的待定系数减少为1个，然后用这个待定系数表示出P、B点的坐标，即可得出AB的长，如果过P作抛物线的对称轴交x轴于M，交圆于N，那么△PAB的外心必在PN（抛物线的对称轴）上，那么可根据相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，据此可求出抛物线中的待定系数，由此可得出抛物线的解析式。2.（江苏省无锡市2004年9分）已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为2yxb10xc.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.【答案】解：（1）∵直线y2xbb0与y轴交于点B，∴B（0，b）又∵抛物线2yxb10xc经过点B，∴2b0b100c，即bc。∴抛物线的解析式可化为2yxb10xb，其顶点坐标8P2b10b16b10024，。又∵顶点P在直线y2xb上，∴2b16b100b10422b，即216b=b600，解得21b=10b=6，∴抛物线的解析式为2yx10或2yx4x6。（2）由题意知，A（b,02），B（0,b），∴OA=b2，OB=b。∵BC⊥AB，∴△ABO∽△BOC。∴OAOBOBOC，即bb2bOC，解得OC=2b。∴C（2b,0）。∵抛物线的对称轴经过C点，∴b10=2b2，解得b=2。∴直线的解析式y2x2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）反复应用点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，求出bc，表示出顶点坐标，代入直线y2xb，求出b，即可得所求抛物线的解析式。（2）由BC⊥AB，得△ABO∽△BOC，从而由OAOBOBOC可求出点C的坐标，由抛物线的对称轴经过C点，根据b10=2b2求出b，即可得所求直线的解析式。3.（江苏省无锡市2005年8分）如图，一次函数ykxn的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，32），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.